Questão 151 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (regra da probabilidade total) e inequações do 1º grau
• ⚡ Nível: Difícil — exige traduzir "eficácia de 98%" em risco residual, montar uma inequação de probabilidade total e ainda comparar cinco propostas numéricas para achar a de menor custo
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade total aplicada a um contexto de saúde pública, combinada com resolução de inequação do 1º grau (competência de área 7 da matriz do ENEM)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre as cinco propostas de cobertura vacinal, qual é a que garante risco de adoecimento de no máximo 5,9% vacinando a menor quantidade possível de meninas?"
• Palavras-chave decisivas: eficácia de 98%, no máximo, de 5,9%, menor quantidade possível
• Armadilha típica: aplicar os 98% de eficácia diretamente como se fosse a probabilidade final de adoecer, ou escolher a proposta com maior cobertura por parecer "mais segura", ignorando a exigência de minimizar custos.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar uma equação que mistura dois grupos de risco (vacinadas e não vacinadas) por meio da probabilidade total, resolver uma inequação linear e interpretar o resultado à luz de um critério extra (menor gasto).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Eficácia de uma vacina: eficácia de 98% significa que o risco original do indivíduo vacinado cai para apenas 2% do valor original — ou seja, é reduzido, não eliminado.
• Regra da probabilidade total: quando uma população se divide em subgrupos (aqui, vacinadas e não vacinadas), a probabilidade de um evento no total é a média das probabilidades de cada subgrupo, ponderada pela proporção de pessoas nele.
• Inequação do 1º grau: para descobrir a fração mínima de pessoas que precisa ser vacinada para cumprir uma meta, escreve-se a probabilidade total como função da proporção vacinada e resolve-se a desigualdade correspondente.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "uma vacina com eficácia de 98%" → o risco de quem é vacinado não é zero: ele é 2% do risco de quem não é vacinado.
• Evidência 2: "em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público" → esse é o risco-base (não vacinado) = 0,5.
• Evidência 3: "probabilidade... seja, no máximo, de 5,9%" → define o teto da inequação: P(doença) ≤ 0,059.
• Evidência 4: "a proposta escolhida deveria ser também aquela que vacinasse a menor quantidade possível de pessoas" → entre as propostas que cumprem a meta, vence a de menor percentual de cobertura.
• Síntese: o problema pede para montar P(doença) = p·(risco da vacinada) + (1−p)·(risco da não vacinada) ≤ 0,059, encontrar o valor mínimo de p que satisfaz essa desigualdade e depois localizar, entre as cinco propostas, a que corresponde a esse mínimo.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o risco residual de quem é vacinada

Uma eficácia de 98% reduz o risco original em 98%, restando apenas 2% desse risco original de 50%:

Risco da vacinada = 50% × (1 − 0,98) = 0,5 × 0,02 = 0,01 = 1%

Risco da não vacinada = 50% = 0,5 (permanece o risco-base, sem proteção)

Subpasso 4.2 — Montar e resolver a inequação da probabilidade total

Seja p a fração do público-alvo vacinada (0 ≤ p ≤ 1). Pela regra da probabilidade total:

P(doença) = p·(0,01) + (1 − p)·(0,5) ≤ 0,059

0,01p + 0,5 − 0,5p ≤ 0,059

0,5 − 0,49p ≤ 0,059

−0,49p ≤ 0,059 − 0,5

−0,49p ≤ −0,441

p ≥ 0,441 ÷ 0,49

p ≥ 0,9 → cobertura mínima de 90%

Subpasso 4.3 — Verificação nas cinco propostas

Testando cada proposta na fórmula P = 0,01p + 0,5(1−p):

• I) p = 90%: 0,01(0,9) + 0,5(0,1) = 0,009 + 0,05 = 0,059 = 5,9% → atinge a meta, exatamente no limite
• II) p = 55,8%: 0,01(0,558) + 0,5(0,442) = 0,00558 + 0,221 = 0,22658 ≈ 22,66% → muito acima do limite
• III) p = 88,2%: 0,01(0,882) + 0,5(0,118) = 0,00882 + 0,059 = 0,06782 ≈ 6,78% → ainda acima do limite
• IV) p = 49%: 0,01(0,49) + 0,5(0,51) = 0,0049 + 0,255 = 0,2599 ≈ 25,99% → muito acima do limite
• V) p = 95,9%: 0,01(0,959) + 0,5(0,041) = 0,00959 + 0,0205 = 0,03009 ≈ 3,01% → cumpre a meta, mas com folga

Apenas as propostas I e V atendem à exigência de no máximo 5,9%. Como o critério de desempate é vacinar a menor quantidade de pessoas, a escolhida é a proposta com menor percentual entre as duas: I, com 90% — que, não por acaso, cai exatamente sobre o valor mínimo calculado na inequação (p ≥ 0,9).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I.

✅ Correta: 90% é precisamente a cobertura mínima que resolve a inequação 0,01p + 0,5(1−p) ≤ 0,059 com igualdade. É a proposta mais econômica entre as que cumprem a meta de segurança de 5,9%.

B) II.

❌ Incorreta: com apenas 55,8% de cobertura, o risco de adoecimento sobe para 22,66% — bem acima do limite. Vacinar pouco mais da metade do público deixa quase 45% das meninas totalmente expostas ao risco-base de 50%, o que puxa a média para cima.

C) III.

❌ Incorreta: 88,2% parece próximo do necessário, mas resulta em 6,78% de risco, ultrapassando o teto de 5,9%. A diferença de apenas 1,8 ponto percentual entre 88,2% e os 90% exigidos já é suficiente para descumprir a meta — evidência da sensibilidade da fórmula a pequenas variações de cobertura.

D) IV.

❌ Incorreta: 49% é a menor cobertura entre as cinco propostas e gera o pior resultado, 25,99% de risco — quase metade da população ainda desprotegida faz a média pender fortemente para o risco-base de 50%.

E) V.

❌ Incorreta (apesar de cumprir a meta): com 95,9% de cobertura, o risco cai a apenas 3,01%, superando com folga a exigência de 5,9%. Só que o enunciado pede a proposta que vacine a menor quantidade de pessoas entre as que atingem a meta; como a proposta I já cumpre exatamente o limite com uma cobertura menor, escolher a V significaria aplicar doses além do necessário, encarecendo a campanha sem ganho relevante de segurança.

🏆 Gabarito: A — a proposta I (90% de cobertura) é a única que atinge o limite regulatório de 5,9% de risco investindo o menor número possível de doses, coincidindo exatamente com o ponto de igualdade da inequação.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra A é a única que satisfaz simultaneamente as duas condições do problema — meta de segurança (P ≤ 5,9%) e menor custo (menor cobertura) — porque corresponde exatamente ao valor de igualdade da inequação, 90%.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de misturar contexto de saúde pública (vacinas, testes diagnósticos, epidemiologia) com regra da probabilidade total e equações/inequações do 1º grau, testando se o candidato sabe traduzir um dado percentual (como "eficácia") em risco residual antes de montar a conta.
• Generalização: sempre que o enunciado falar em "eficácia de X%" de uma intervenção, o risco de quem é protegido é risco-base × (1 − eficácia); e sempre que houver mistura de dois grupos com riscos diferentes, a probabilidade final do evento é a média ponderada pelas proporções de cada grupo.
• Dica de eliminação rápida: resolva primeiro a inequação para achar o "ponto de corte" (aqui, 90%) e descarte de cara toda proposta com cobertura abaixo desse valor — nesta questão isso já elimina II, III e IV em segundos, sobrando apenas comparar I e V pelo critério de menor custo.
• Conexões: probabilidade condicional e árvore de probabilidades; sistemas e inequações do 1º grau aplicados a problemas de custo mínimo; interpretação de dados percentuais em textos de divulgação científica.