Questão 179 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções afins (gráficos, coeficiente linear e angular) e comparação de valores
• ⚡ Nível: Médio — exige comparar três retas simultâneas no mesmo gráfico, em dois pontos diferentes, sem fórmula pronta
• 🎯 Tema/Habilidade: Leitura e interpretação de gráficos de funções afins para tomada de decisão
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Para 30 min e para 90 min de uso, qual reta do gráfico está mais baixa (menor valor a pagar) em cada caso?"
• Palavras-chave decisivas: 30 minutos (esposa), 90 minutos (marido), menor custo mensal
• Armadilha típica: achar que existe "um plano melhor" fixo para qualquer consumo — ignorando que as retas se cruzam e a resposta muda conforme o ponto do eixo horizontal.
• O que a resposta precisa demonstrar: fixar um valor de x (tempo), comparar verticalmente as três retas nesse ponto e repetir para os dois consumos.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (y = ax + b): cada plano é uma reta; b é o custo fixo mensal e a é o custo por minuto adicional (inclinação).
• Coeficiente linear × angular: reta com b pequeno e a grande começa barata e sobe rápido (boa para pouco uso); reta com b grande e a pequeno começa cara mas sobe devagar (boa para muito uso).
• Ponto de interseção (equilíbrio): valor de x em que duas retas se igualam; antes dele uma reta é menor, depois dele a ordem se inverte.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "ela utiliza... 30 minutos por mês" → localizar x = 30 e comparar as três retas nesse ponto.
• Evidência 2: "ele... utiliza 90 minutos por mês" → localizar x = 90 e repetir.
• Evidência 3 (do gráfico): Plano A (contínua), Plano B (tracejada) e Plano C (pontilhada) se cruzam quase no mesmo ponto, por volta de x ≈ 50 min, y ≈ R$ 60 — o ponto de equilíbrio do sistema.
• Síntese: 30 min está antes do equilíbrio e 90 min está depois dele, então o plano mais barato muda de um caso para o outro; é preciso ler o gráfico duas vezes, não existe atalho único.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Coeficientes lineares (x = 0)

No eixo vertical, o Plano C começa perto de R$ 0, o Plano A começa perto de R$ 20 e o Plano B perto de R$ 36. Logo, C tem a maior inclinação (sobe mais rápido) e B tem a menor inclinação (sobe mais devagar); A fica no meio nos dois aspectos.

Subpasso 4.2 — x = 30 min (esposa)

Traçando a vertical em x = 30: Plano C ≈ R$ 35, Plano A ≈ R$ 44, Plano B ≈ R$ 50. Ordem crescente: C < A < B. Como 30 min está antes do equilíbrio (≈ 50 min), a reta mais inclinada (C) ainda é a mais barata. A esposa deve escolher o Plano C.

Subpasso 4.3 — x = 90 min (marido) e Verificação

Traçando a vertical em x = 90: Plano B ≈ R$ 79, Plano A ≈ R$ 92, Plano C ≈ R$ 108 (já sai do gráfico). Ordem crescente: B < A < C — o inverso do caso anterior, pois 90 min está depois do equilíbrio. O marido deve escolher o Plano B. O padrão "antes do equilíbrio vence a reta mais inclinada; depois, vence a mais suave" confirma os dois resultados sem contradição.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) O plano A para ambos.

❌ Incorreta: o Plano A nunca é o mais barato — em x = 30 e em x = 90 ele fica sempre "no meio" das três retas, nunca embaixo de todas.

B) O plano B para ambos.

❌ Incorreta: em x = 30 min, o Plano B é o mais caro dos três (≈ R$ 50 contra ≈ R$ 35 do C); seu custo fixo maior ainda não foi compensado pela inclinação suave.

C) O plano C para ambos.

❌ Incorreta: em x = 90 min, o Plano C vira o mais caro de todos (ultrapassa R$ 105); a vantagem de custo inicial baixo se transforma em desvantagem com uso intenso.

D) O plano B para a esposa e o plano C para o marido.

❌ Incorreta: é a inversão exata da resposta certa — usa o plano "de alto consumo" (B) para quem usa pouco e o plano "de baixo consumo" (C) para quem usa muito, trocando as retas sem checar de que lado do cruzamento está cada consumo.

E) O plano C para a esposa e o plano B para o marido.

✅ Correta: em x = 30 min, o Plano C é o mais barato (≈ R$ 35); em x = 90 min, o Plano B é o mais barato (≈ R$ 79) — exatamente a combinação obtida no Passo 4.

🏆 Gabarito: E — o Plano C é o mais econômico para 30 minutos (abaixo das demais retas antes do ponto de equilíbrio, ≈ 50 min) e o Plano B é o mais econômico para 90 minutos (abaixo das demais retas depois desse ponto).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra E é compatível com as duas leituras gráficas (C mais barato em 30 min, B mais barato em 90 min); as demais repetem o mesmo plano para os dois consumos ou invertem a relação correta.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora comparar "planos" (telefonia, transporte por app, energia, aluguel) representados por retas com custos fixos e taxas por uso diferentes — a resposta quase sempre depende do ponto de interseção e de que lado dele está o consumo perguntado.
• Generalização: em gráficos com múltiplas retas de custo, antes da interseção vence quem tem menor coeficiente linear (mesmo com maior inclinação); depois da interseção vence quem tem menor coeficiente angular (mesmo tendo começado mais caro).
• Dica de eliminação rápida: olhe para x = 0 (quem começa mais barato/caro) e para o cruzamento das retas; se o consumo pedido é antes do cruzamento, vence a reta mais inclinada que começou barata; se é depois, vence a mais suave que começou cara. Isso já descarta alternativas do tipo "mesmo plano para os dois" em segundos.
• Conexões: funções afins e seus coeficientes; sistemas de equações lineares (a interseção é a solução do sistema das retas); problemas de "melhor tarifa" em consumo de energia, internet ou transporte.