Questão 177 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (projeções ortogonais) e noções de movimento circular
• ⚡ Nível: Difícil — exige visualizar mentalmente uma rotação tridimensional e "achatar" essa trajetória numa projeção, sem nenhum apoio de cálculo numérico
• 🎯 Tema/Habilidade: Projeção ortogonal de uma trajetória circular sobre um plano — competência de leitura e representação espacial (desenho técnico)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Olhando de frente para a parede, projetando ortogonalmente, qual desenho corresponde ao caminho percorrido pela ponta da haste durante o giro de 90°?"
• Palavras-chave decisivas: projeção ortogonal, paralela ao plano da parede, 1/4 de volta
• Armadilha típica: achar que, como o ponto descreve um arco de circunferência no espaço, a projeção também precisa ser uma curva — esquecendo que a direção da projeção pode "esconder" justamente a curvatura do movimento.
• O que a resposta precisa demonstrar: reconhecer que a trajetória real é um arco de 90° contido num plano horizontal e que, ao projetá-la ortogonalmente sobre um plano vertical (a parede) segundo uma direção também horizontal, a curvatura desaparece e sobra um segmento de reta.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Projeção ortogonal: para cada ponto do espaço, traça-se uma perpendicular ao plano de projeção (aqui, a parede) e marca-se onde essa perpendicular "fura" o plano — é como achatar o objeto na direção perpendicular à parede, preservando apenas altura e deslocamento lateral.
• Trajetória circular em plano horizontal: como a haste gira em torno de um eixo vertical (o pino do registro), a ponta do ponto preto descreve um arco de circunferência contido num plano paralelo ao chão — logo, todos os pontos da trajetória têm a mesma altura.
• Efeito de "achatamento": quando a direção de projeção está contida no mesmo plano em que a curva é desenhada (aqui, ambas horizontais), a curvatura some na projeção, e resta apenas a variação ao longo da direção paralela à parede — resultando num segmento reto, não numa curva.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "é necessário girar a haste 1/4 de volta no sentido anti-horário" → o movimento é uma rotação de 90° em torno do eixo do registro (eixo vertical), não uma translação nem um giro num plano vertical.
• Evidência 2: "Considere que a haste esteja paralela ao plano da parede" (na posição fechado) → fixa a orientação inicial: o segmento eixo-ponto começa alinhado com a parede (direção horizontal, "colado" nela) e termina, após o giro de 90°, apontando para fora, perpendicular à parede.
• Evidência 3 (da figura): a seta "parede" indica um plano vertical atrás da torneira; a seta "haste" aponta para a alavanca que sai da base do registro — confirmando que o eixo de giro é vertical e a haste gira num plano horizontal, na altura da base da torneira.
• Síntese: o ponto preto percorre um quarto de circunferência num plano horizontal; como esse plano é "visto de perfil" ao ser projetado na parede vertical (a direção de projeção é horizontal, e está contida no próprio plano da trajetória), o resultado projetado é um segmento reto — não um arco.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando um sistema de referência

Coloque a origem no eixo do registro (o pino vertical em torno do qual a haste gira). Defina três eixos:

• eixo z: vertical (altura, sobe a partir da base da torneira);
• eixo y: horizontal, paralelo à parede;
• eixo x: horizontal, perpendicular à parede (aponta da parede em direção a quem usa a torneira).

Como a haste tem comprimento r e gira em torno do eixo vertical, a posição do ponto preto em qualquer instante do giro é dada por:

P(θ) = (r·sen θ, r·cos θ, z₀)

em que z₀ é a altura fixa da haste (ela não sobe nem desce, só gira) e θ é o ângulo já percorrido a partir da posição fechada.

Subpasso 4.2 — Aplicando as condições inicial e final

Na posição fechada (θ = 0°), o enunciado afirma que a haste é paralela à parede — ou seja, o segmento eixo→ponto está todo na direção y (paralela à parede), com x = 0. Isso corresponde a P(0°) = (0, r, z₀).

Girando 1/4 de volta (θ = 90°) no sentido anti-horário, chega-se a P(90°) = (r, 0, z₀): agora o ponto está deslocado ao máximo na direção x (perpendicular à parede, "saindo" dela), com y = 0.

Ou seja, no espaço, o ponto realmente desenha um quarto de círculo de raio r, saindo da orientação "colada na parede" até a orientação "perpendicular à parede".

Subpasso 4.3 — Verificação: projetando ortogonalmente na parede

Projetar ortogonalmente na parede significa descartar a coordenada x (a profundidade, perpendicular à parede) e manter apenas (y, z), que são as coordenadas que efetivamente aparecem sobre a superfície da parede.

Aplicando isso a P(θ) = (r·sen θ, r·cos θ, z₀):

Projeção(θ) = (y, z) = (r·cos θ, z₀)

Note que a altura z = z₀ é constante para todo θ — a projeção nunca sai dessa linha de altura. Só a coordenada y varia, de y = r (em θ = 0°) até y = 0 (em θ = 90°), passando por todos os valores intermediários de r·cos θ.

Logo, a imagem projetada é o conjunto de pontos {(r·cos θ, z₀) : 0° ≤ θ ≤ 90°} — um segmento de reta horizontal, de comprimento r, na altura z₀. Não há curvatura nenhuma na projeção, porque a "sobra" de curvatura (a coordenada x) foi justamente a que se descarta ao projetar. Isso confere exatamente com a alternativa A, que mostra um traço reto na parede — não um arco, não uma espiral, não uma diagonal.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Traço reto (segmento de reta horizontal) na parede

✅ Correta: é exatamente o resultado da projeção calculada acima — como o plano do movimento (horizontal) contém a própria direção de projeção (também horizontal, perpendicular à parede), a curvatura do arco "desaparece" e sobra apenas a variação ao longo da direção paralela à parede, gerando um segmento reto.

B) Um arco de circunferência (curva) desenhado na parede

❌ Incorreta: reproduz literalmente a forma do movimento no espaço (um quarto de círculo), sem considerar que a projeção ortogonal elimina a coordenada perpendicular à parede. Confunde "trajetória real em 3D" com "sombra projetada em 2D" — o erro conceitual clássico de quem não percebe que a direção de projeção está contida no plano da curva.

C) Uma reta inclinada (diagonal) na parede

❌ Incorreta: uma diagonal só apareceria se a projeção envolvesse variação simultânea das duas coordenadas da parede (y e z). Mas aqui z permanece constante — a haste não sobe nem desce durante o giro, apenas gira num plano horizontal — logo não há motivo geométrico para inclinação.

D) Uma curva do tipo "S" ou ondulada na parede

❌ Incorreta: esse formato sugeriria uma trajetória tridimensional mais complexa, como um ponto que muda de plano de rotação ou combina dois movimentos simultâneos. O enunciado descreve um giro simples em torno de um único eixo vertical, o que produz um arco plano simples — cuja projeção, como demonstrado, é reta.

E) Um segmento de reta vertical na parede

❌ Incorreta: inverte os papéis dos eixos. Um segmento vertical surgiria se a haste subisse e descesse mantendo x e y fixos (um movimento de translação vertical), não de um giro num plano horizontal. Como z₀ é constante e quem varia é y, o segmento correto é horizontal, não vertical.

🏆 Gabarito: A — a trajetória real é um arco de 90° contido num plano horizontal; ao projetá-la ortogonalmente sobre a parede (plano vertical) segundo uma direção também horizontal, a curvatura desaparece e resta um segmento de reta, exatamente o que a alternativa A mostra.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como a rotação da haste ocorre inteiramente num plano horizontal e a projeção pedida também é feita "de frente", ao longo de uma direção horizontal contida nesse mesmo plano, a única forma geometricamente possível para a sombra na parede é um segmento reto — isso descarta toda alternativa curva, inclinada ou vertical, sobrando apenas a A.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de testar projeções ortogonais de objetos e movimentos do cotidiano (torneiras, portas, guarda-chuvas, compassos) para verificar se o estudante distingue "forma real no espaço" de "forma vista/projetada" — competência central de desenho técnico e geometria espacial.
• Generalização: sempre que a direção de projeção estiver contida no mesmo plano em que o objeto ou a trajetória se desenha, a projeção "achata" a figura numa dimensão a menos — um círculo vira segmento, uma esfera vira círculo, um cubo pode virar quadrado ou hexágono, dependendo do ângulo de observação.
• Dica de eliminação rápida: pergunte "a altura do ponto muda durante o movimento?". Se a resposta for não (giro puramente horizontal, como aqui), a projeção nunca pode ser curva nem inclinada — elimina de cara arcos, ondas e diagonais. Depois, basta checar se é a coordenada paralela à parede ou a de altura que varia para escolher entre segmento horizontal ou vertical.
• Conexões: vistas ortográficas (projeção em desenho técnico); geometria analítica espacial (coordenadas x, y, z); trigonometria do círculo (parametrização por seno e cosseno).