Questão 142 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (polígonos regulares, ângulo interno) e Triângulos (equilátero e isósceles)
• ⚡ Nível: Difícil — exige combinar três conceitos em sequência (ângulo interno do octógono, propriedade do triângulo equilátero e propriedade do triângulo isósceles) sem nenhum deles ser dado pronto no enunciado
• 🎯 Tema/Habilidade: Ângulos internos de polígonos regulares aplicados à decomposição de figuras compostas (habilidade de geometria plana — reconhecer propriedades de figuras geométricas planas para resolver problemas)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule a medida do ângulo com vértice em I, formado pelas semirretas IG e IF, sabendo que ABCDEFGH é um octógono regular e que IGH é um triângulo equilátero."
• Palavras-chave decisivas: octógono regular, triângulo IGH equilátero, ângulo GÎF
• Armadilha típica: confundir o ângulo pedido (GÎF, com vértice no juiz I) com o ângulo IGF (vértice em G) ou com o próprio ângulo do triângulo equilátero (60°) — três valores muito parecidos aparecem nas alternativas propositalmente para pegar quem troca o vértice do ângulo.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de decompor uma figura plana em triângulos auxiliares, usar o ângulo interno do octógono como dado estrutural e aplicar corretamente a soma dos ângulos internos de um triângulo isósceles.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Ângulo interno de polígono regular de n lados: dado por (n − 2) · 180° / n. Para n = 8 (octógono), o ângulo interno vale 135° — esse é o "ângulo de fábrica" de cada vértice do octógono, incluindo o vértice G, formado pelos lados HG e GF.
• Triângulo equilátero: todos os lados são iguais e, por consequência, os três ângulos internos também são iguais, cada um medindo 60°. Isso vale automaticamente para o triângulo IGH do enunciado.
• Triângulo isósceles — ângulos da base: quando dois lados de um triângulo são iguais, os ângulos opostos a eles (os ângulos "da base") também são iguais. Se o ângulo do vértice diferente (o "ápice") é conhecido, os outros dois valem (180° − ápice) / 2 cada.
• Soma dos ângulos internos de qualquer triângulo: sempre 180°, ferramenta final para fechar a conta.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "octógono regular" → todos os 8 lados e os 8 ângulos internos são iguais; cada ângulo interno mede 135°, incluindo o ângulo HGF (formado pelos lados GH e GF, que se encontram em G).
• Evidência 2: "o triângulo IGH é equilátero" → IG = GH = HI, e os três ângulos internos desse triângulo (inclusive o ângulo IGH) medem 60°. Como GH é lado do octógono, o lado IG do triângulo equilátero tem o mesmo comprimento que qualquer lado do octógono — inclusive o lado GF.
• Evidência 3 (da figura): o ponto I está no interior do octógono, "encaixado" sobre o lado GH, com o triângulo sombreado apontando para dentro da figura — ou seja, o ângulo IGH está "dentro" do ângulo HGF, e não fora dele.
• Síntese: o ângulo interno do octógono em G (HGF = 135°) é formado por dois "pedaços": o ângulo IGH (60°, do triângulo equilátero) e o ângulo IGF (o restante). Subtraindo um do outro chega-se ao ângulo IGF, que passa a ser o ápice de um novo triângulo isósceles (IGF) cuja base contém justamente o ângulo procurado, GÎF.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Ângulo interno do octógono em G

Um octógono regular tem ângulo interno:

(8 − 2) · 180° / 8 = 6 · 180° / 8 = 1080° / 8 = 135°.

Logo, o ângulo HGF (formado pelos lados GH e GF que se encontram no vértice G) mede 135°.

Subpasso 4.2 — Isolando o ângulo IGF

Como o triângulo IGH é equilátero, o ângulo IGH mede 60°. Pela figura, a semirreta GI está entre as semirretas GH e GF, dividindo o ângulo de 135° em duas partes:

ângulo HGF = ângulo IGH + ângulo IGF

135° = 60° + ângulo IGF

ângulo IGF = 135° − 60° = 75°.

Subpasso 4.3 — Triângulo IGF é isósceles

Repare nos lados: IG é lado do triângulo equilátero IGH, logo IG = GH. Mas GH e GF são dois lados consecutivos do mesmo octógono regular, logo GH = GF. Por transitividade:

IG = GH = GF.

Ou seja, no triângulo IGF os lados IG e GF são iguais — o triângulo é isósceles, com ápice exatamente no vértice G (ângulo de 75°, calculado acima) e base IF. Os ângulos da base (em I e em F) são iguais entre si. Chamando cada um de x:

75° + x + x = 180°

2x = 105°

x = 52,5°.

Como o ângulo GÎF é justamente o ângulo do triângulo IGF com vértice em I — um dos ângulos da base — conclui-se:

GÎF = 52,5°.

Subpasso 4.4 — Verificação

Some os três ângulos do triângulo IGF: 75° (em G) + 52,5° (em I) + 52,5° (em F) = 180°. ✓ Confere com a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo, validando o resultado. Note também que 52,5° é exatamente metade de 105°, e 105° = 135° − 30°, coerente com a simetria "quebrada" pelo triângulo equilátero encaixado no octógono.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 120°

❌ Incorreta: não corresponde a nenhum ângulo calculado na figura; pode surgir de um erro grosseiro, como tentar usar o ângulo interno de um hexágono (120°) em vez do octógono, confundindo o número de lados do polígono.

B) 75°

❌ Incorreta: esse é o valor do ângulo IGF (vértice em G, o ápice do triângulo isósceles), não do ângulo GÎF (vértice em I). É a armadilha central da questão — trocar o vértice do ângulo pedido pelo vértice do ângulo intermediário calculado no caminho da resolução.

C) 67,5°

❌ Incorreta: corresponde à metade do ângulo interno do octógono (135° / 2 = 67,5°), um valor que aparece se o candidato tentar "bissectar" o ângulo de 135° diretamente, ignorando a existência do triângulo equilátero e do triângulo isósceles subsequente.

D) 60°

❌ Incorreta: é o valor de qualquer ângulo interno do triângulo equilátero IGH (por exemplo, o próprio ângulo IGH ou o ângulo GIH), não o ângulo GÎF pedido. Confundir o ângulo GIH (dentro do triângulo equilátero) com o ângulo GIF (que abre além dele, até F) é outro erro clássico de quem não percebe que I enxerga G e F através de um triângulo diferente do equilátero.

E) 52,5°

✅ Correta: é o ângulo da base do triângulo isósceles IGF, obtido a partir do ângulo interno do octógono (135°) menos o ângulo do triângulo equilátero (60°), resultando no ápice de 75°, cujos dois ângulos da base valem (180° − 75°) / 2 = 52,5° cada — exatamente o ângulo GÎF pedido.

🏆 Gabarito: E — o ângulo GÎF é um ângulo da base do triângulo isósceles IGF (com IG = GF = lado do octógono), cujo ápice em G mede 75° (135° do ângulo interno do octógono menos 60° do triângulo equilátero IGH), resultando em (180° − 75°)/2 = 52,5°.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra E fecha corretamente a cadeia de três propriedades geométricas exigidas — ângulo interno do octógono, propriedade do triângulo equilátero e propriedade do triângulo isósceles — todas confirmadas pela soma de 180° no triângulo final.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de "encaixar" um triângulo especial (equilátero, retângulo ou isósceles) dentro de um polígono regular e pedir um ângulo que só aparece depois de duas ou três subtrações de ângulos — é um teste de raciocínio em cadeia, não de fórmula decorada.
• Generalização: sempre que um problema misturar um polígono regular com um triângulo "encaixado" em um de seus vértices, comece calculando o ângulo interno do polígono com (n−2)·180°/n e depois identifique quais lados do triângulo coincidem com lados do polígono — essa igualdade de lados é o que garante triângulos isósceles auxiliares e destrava o problema.
• Dica de eliminação rápida: identifique de cara o vértice do ângulo pedido (aqui, I) e desconfie de qualquer alternativa que seja um valor "batido" já calculado em outro vértice do desenho (60° do equilátero, 75° do ângulo intermediário em G, ou metade "ingênua" do ângulo interno) — normalmente são pelo menos três das cinco alternativas.
• Conexões: soma dos ângulos internos de polígonos regulares; triângulos isósceles e equiláteros; decomposição de figuras planas compostas.