Questão 150 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Linear (proporcionalidade direta) e leitura de gráficos cartesianos
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade não está em cada gráfico isoladamente, mas em perceber que o tempo t é a "ponte" que conecta as duas grandezas (peças e faturamento)
• 🎯 Tema/Habilidade: Interpretar gráficos de funções lineares e usar uma variável comum para relacionar duas grandezas distintas (competência de leitura e interpretação de dados em Matemática)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado um faturamento de R$ 10 000,00, quantas peças (em unidades, não em milhar) foram produzidas nesse mesmo intervalo de tempo?"
• Palavras-chave decisivas: faturamento de R$ 10 000,00, quantidade de peças, em função do número t de horas trabalhadas
• Armadilha típica: tentar relacionar x e y diretamente (como se um dependesse do outro) ou esquecer de converter as unidades — os gráficos estão em milhar de peças e milhar de reais, então o resultado final precisa ser multiplicado por 1 000
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair a lei de formação de cada gráfico, usar o tempo t como elo entre as duas funções e converter corretamente as unidades apresentadas nos eixos

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função linear (proporcionalidade direta): é toda função do tipo f(t) = k·t, cujo gráfico é uma reta que passa pela origem (0,0). A constante k é o coeficiente de proporcionalidade, obtido pela razão entre a variável dependente e t.
• Determinação da lei de formação por dois pontos: como a reta passa pela origem, basta um ponto (t, valor) diferente de (0,0) para calcular k = valor/t. Se o gráfico fornece dois pontos, ambos devem gerar o mesmo k — isso serve como verificação.
• Variável comum como elo entre grandezas: quando duas grandezas distintas (aqui, peças produzidas e faturamento) dependem do mesmo parâmetro t, é possível "atravessar" de uma função para a outra: primeiro isola-se t em uma equação e depois substitui-se esse valor na outra.
• Atenção às escalas dos eixos: os enunciados costumam informar que os valores estão "em milhar" — um detalhe que, se ignorado, altera o resultado por um fator de 1 000.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "A quantidade x de peças, em milhar, produzidas [...] em função do número t de horas trabalhadas" → o primeiro gráfico mostra x (mil peças) no eixo vertical, com os pontos (1, 20) e (3, 60) destacados por linhas tracejadas.
• Evidência 2: "e o faturamento y, em milhar de real" → o segundo gráfico mostra y (mil reais) no eixo vertical, com os pontos (1, 4) e (2, 8) destacados.
• Síntese: ambas as retas partem da origem (0,0), o que confirma que x e y são funções lineares de t (proporcionalidade direta). A estratégia é: (1) obter a lei x = f(t) a partir do primeiro gráfico; (2) obter a lei y = g(t) a partir do segundo; (3) usar o valor de faturamento pedido (R$ 10 000,00) para achar t; (4) substituir esse t na lei de x para obter a quantidade de peças.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar a lei da função x(t) (peças produzidas)

No primeiro gráfico, a reta passa pela origem e pelo ponto (t, x) = (1, 20). Logo:

x = k₁·t → 20 = k₁·1 → k₁ = 20

Verificação com o segundo ponto do gráfico, (3, 60):

x = 20·3 = 60 ✓ (bate exatamente com o gráfico)

Portanto: x(t) = 20t, com x em milhar de peças.

Subpasso 4.2 — Determinar a lei da função y(t) (faturamento)

No segundo gráfico, a reta passa pela origem e pelo ponto (t, y) = (1, 4). Logo:

y = k₂·t → 4 = k₂·1 → k₂ = 4

Verificação com o segundo ponto do gráfico, (2, 8):

y = 4·2 = 8 ✓ (bate exatamente com o gráfico)

Portanto: y(t) = 4t, com y em milhar de reais.

Subpasso 4.3 — Usar o faturamento de R$ 10 000,00 para achar t

R$ 10 000,00 corresponde a y = 10 (pois y está em milhar de reais).

y = 4t → 10 = 4t → t = 10/4 → t = 2,5 horas

Subpasso 4.4 — Substituir t = 2,5 na lei de x(t)

x = 20t → x = 20 × 2,5 = 50

Como x está em milhar de peças: x = 50 mil peças = 50 000 peças

Subpasso 4.5 — Verificação final

Conferindo as duas funções no instante t = 2,5 h:

y(2,5) = 4 × 2,5 = 10 (mil reais) = R$ 10 000,00 ✓ (bate com o enunciado)

x(2,5) = 20 × 2,5 = 50 (mil peças) = 50 000 peças

O valor 50 000 está entre as alternativas — corresponde exatamente à alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2 000.

❌ Incorreta: esse valor surgiria de um erro grosseiro de unidade, como calcular x = 20 × 2,5 = 50 e depois "esquecer" de multiplicar por mil e ainda dividir por 25 — não corresponde a nenhum caminho matematicamente consistente a partir das leis corretas. É um distrator para quem confunde a escala do eixo x com unidades absolutas sem aplicar a proporcionalidade correta.

B) 2 500.

❌ Incorreta: é o resultado de calcular t = 2,5 e multiplicar diretamente por 1 000 (2,5 × 1 000 = 2 500), sem passar pela função x(t) = 20t. Esse erro ignora completamente o coeficiente de proporcionalidade da primeira reta (k₁ = 20) e trata t como se já fosse a resposta em peças.

C) 40 000.

❌ Incorreta: esse valor aparece se o aluno trocar as duas leis de formação, aplicando y(t) = 4t no lugar de x(t) = 20t de forma invertida, ou calculando x = 20 × 2 (usando t = 2 em vez de t = 2,5, por engano na leitura do gráfico de y). É o distrator típico de quem erra a álgebra ao isolar t.

D) 50 000.

✅ Correta: é exatamente o valor obtido no Subpasso 4.4: com t = 2,5 h (tempo necessário para y atingir R$ 10 000,00), a função x(t) = 20t fornece x = 50 (mil peças) = 50 000 peças. Todas as etapas — leitura dos dois gráficos, determinação das leis de formação, cálculo de t e substituição — convergem para esse valor.

E) 200 000.

❌ Incorreta: esse valor surge se o aluno multiplicar 20 000 (interpretação errada de "milhar" como fator aplicado antes da hora) por 10, ou se usar t = 10 diretamente na lei x = 20t sem antes calcular t a partir de y(t) = 4t. É um distrator que superestima grosseiramente a escala, ignorando que t deve ser calculado primeiro pela equação do faturamento.

🏆 Gabarito: D — com t = 2,5 horas (tempo em que o faturamento atinge R$ 10 000,00, segundo y(t) = 4t), a produção correspondente é x(t) = 20 × 2,5 = 50 mil peças, ou seja, 50 000 peças.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa D é a única compatível com as duas funções lineares extraídas corretamente dos gráficos e com a conversão de unidades (milhar de peças e milhar de reais) exigida pelo enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente apresenta duas ou mais grandezas (produção, custo, faturamento, distância, velocidade etc.) como funções de uma mesma variável independente (tempo, por exemplo) em gráficos separados, exigindo que o candidato "atravesse" de um gráfico para o outro usando essa variável comum.
• Generalização: sempre que dois gráficos lineares compartilham a mesma variável independente, o caminho é: (1) escrever a lei de cada reta a partir de um ponto conhecido (y = kt, se a reta passa pela origem); (2) usar o valor dado em uma das funções para isolar a variável comum; (3) substituir esse valor na outra função para obter a resposta pedida.
• Dica de eliminação rápida: antes de calcular, verifique a ordem de grandeza esperada — como x cresce mais rápido que t (coeficiente 20) e o t encontrado é maior que 1 (2,5 h), o valor de x também deve ser maior que 20 mil; isso já elimina A e B de cara. Além disso, sempre confira se a resposta final precisa ser multiplicada pela escala "em milhar" indicada no enunciado — esse é o detalhe que separa C/D/E.
• Conexões: funções lineares e afins; sistemas de duas equações com variável auxiliar; leitura e interpretação de gráficos cartesianos, tema recorrente em questões de Matemática e também de Ciências da Natureza (gráficos de velocidade × tempo, concentração × tempo etc.).