Questão 168 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (sólido do telhado), Teorema de Pitágoras e Modelagem com Porcentagem
• ⚡ Nível: Difícil — exige montar o triângulo retângulo a partir de um sólido descrito por texto e figura, aplicar Pitágoras, calcular a área do telhado e ainda interpretar uma restrição comercial (venda em milheiros) para arredondar corretamente
• 🎯 Tema/Habilidade: Inclinação de telhado (razão altura/base) associada ao Teorema de Pitágoras para obter a área da superfície inclinada, com modelagem de uma situação real de compra em lotes fechados
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule quantas telhas, no mínimo, o proprietário precisa comprar — em milheiros — para cobrir o telhado respeitando a inclinação ideal de 40%."
• Palavras-chave decisivas: inclinação ideal de 40%, N = d² × 10,5, vendidas somente em milheiros
• Armadilha típica: calcular corretamente o número de telhas (1218) e arredondar para baixo (1 milheiro) por "proximidade", esquecendo que 1000 telhas não cobririam o telhado — em problemas de compra mínima, arredonda-se sempre para cima, nunca para o valor "mais próximo".
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir a inclinação percentual em uma medida real (altura h), usar essa altura para achar o lado do telhado via Pitágoras, calcular N e converter esse total em milheiros respeitando a regra comercial de venda em lotes fechados.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Inclinação (razão trigonométrica simples): a inclinação percentual de um telhado é a razão entre a altura (subida) e a base (avanço horizontal), i = h/b, expressa em porcentagem. É a mesma lógica da tangente de um ângulo, mas apresentada de forma direta e acessível ao contexto de construção civil.
• Teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (hipotenusa² = cateto1² + cateto2²). Aqui ele conecta a altura h e a base b ao lado do telhado (a hipotenusa do triângulo BOC).
• Modelagem com restrição discreta (arredondamento): quando um produto só é vendido em pacotes fechados (aqui, milheiros = 1000 unidades), qualquer quantidade calculada deve ser arredondada para cima até o próximo múltiplo do pacote, garantindo que a necessidade real seja plenamente atendida — nunca se compra "quase o suficiente".

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "BOC é um triângulo retângulo em O... b = 10 é o comprimento do segmento OB... h é a altura do telhado" → revela que b e h são os catetos de um triângulo retângulo, e a hipotenusa BC é justamente o lado do telhado que sobe do beiral até o cume.
• Evidência 2: "d é a largura do telhado (segmento AB)... a superfície quadrada plana ABCD" → como ABCD é um quadrado, todos os lados são iguais; logo d = AB = BC, ou seja, o lado d do quadrado é exatamente a hipotenusa do triângulo BOC calculada pela Evidência 1.
• Evidência 3: "a porcentagem i de inclinação ideal... é de 40%" e "N = d² × 10,5" → a inclinação de 40% permite achar h; d² entra diretamente na fórmula de N, então nem é preciso calcular d — basta calcular d² = b² + h².
• Síntese: o caminho é: (1) usar i = h/b = 0,40 para achar h; (2) usar Pitágoras para achar d² = b² + h² (o lado do quadrado ao quadrado); (3) substituir d² em N = d² × 10,5 para achar o número de telhas; (4) converter N em milheiros, arredondando para cima.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Encontrar a altura h a partir da inclinação

A inclinação ideal é dada por i = h/b, e sabemos que i = 40% = 0,40 e b = 10 m.

i = h/b

0,40 = h/10

h = 0,40 × 10

h = 4 m

Subpasso 4.2 — Encontrar d² pelo Teorema de Pitágoras

No triângulo retângulo BOC (reto em O), os catetos são OB = b = 10 e OC = h = 4, e a hipotenusa é BC. Como ABCD é um quadrado, o lado do telhado d é igual a BC. Então:

d² = BC² = b² + h²

d² = 10² + 4²

d² = 100 + 16

d² = 116

Subpasso 4.3 — Calcular N e converter em milheiros

Substituindo d² = 116 na fórmula fornecida:

N = d² × 10,5

N = 116 × 10,5

N = 1218 telhas

Como as telhas só são vendidas em milheiros (pacotes de 1000 unidades):

• 1 milheiro = 1000 telhas → insuficiente, pois 1000 < 1218.
• 2 milheiros = 2000 telhas → suficiente, pois 2000 ≥ 1218, e é a menor quantidade de pacotes que cobre a necessidade.

Verificação: 1218 está entre 1000 e 2000. Como não existe fração de milheiro à venda e a exigência é "respeitar a inclinação ideal" (ou seja, não faltar telha nenhuma), a quantidade mínima que atende é 2 milheiros, confirmando a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) um milheiro.

❌ Incorreta: forneceria apenas 1000 telhas, 218 a menos que as 1218 necessárias. Comprar essa quantidade deixaria parte do telhado descoberta, violando a exigência de respeitar a inclinação e a cobertura completa informadas pelo fabricante.

B) dois milheiros.

✅ Correta: 2000 telhas cobrem com folga as 1218 exigidas pelo cálculo N = d² × 10,5, sendo a menor quantidade de milheiros (pacote fechado) capaz de suprir a necessidade real de telhas.

C) três milheiros.

❌ Incorreta: 3000 telhas atenderiam à necessidade, mas não são a quantidade mínima — o proprietário gastaria muito mais do que o preciso, contrariando a lógica de otimização implícita no comando ("quantidade mínima").

D) seis milheiros.

❌ Incorreta: corresponde a 6000 telhas, um exagero que sugere um erro grosseiro de cálculo (por exemplo, usar d em vez de d², ou somar incorretamente os termos de Pitágoras), muito acima do que a área do telhado demanda.

E) oito milheiros.

❌ Incorreta: 8000 telhas é um valor ainda mais desproporcional, típico de quem multiplicou etapas erradas da fórmula (como elevar N ao quadrado novamente ou usar b + h em vez de b² + h²) sem checar a coerência do resultado final com a escala do problema.

🏆 Gabarito: B — a inclinação de 40% fornece h = 4 m; por Pitágoras, d² = 10² + 4² = 116; logo N = 116 × 10,5 = 1218 telhas, quantidade que exige a compra de dois milheiros, a menor quantidade de pacotes fechados suficiente.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a alternativa B (dois milheiros) garante simultaneamente que nenhuma telha faltará (diferente de A) e que não haverá compra desnecessária muito acima do mínimo (diferente de C, D e E).
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de embutir uma fórmula pronta (aqui, N = d² × 10,5) dentro de um problema de geometria espacial disfarçado de situação cotidiana (construção civil), testando se o estudante consegue extrair as variáveis certas da figura antes de simplesmente "aplicar a fórmula".
• Generalização: sempre que um problema envolver "razão de subida/avanço" (inclinação, rampa, ladeira, telhado), trate-a como i = altura/base e resolva o triângulo retângulo correspondente com Pitágoras antes de prosseguir para a fórmula final pedida.
• Dica de eliminação rápida: quando a questão pede "quantidade mínima" vendida em lotes fechados (dúzias, milheiros, caixas), calcule o valor exato e depois arredonde SEMPRE para cima até o próximo múltiplo do lote — isso já elimina de cara qualquer alternativa menor que o valor exato (aqui, elimina A) e aponta diretamente o menor múltiplo que o supera (aqui, B).
• Conexões: Teorema de Pitágoras aplicado a contextos de engenharia/arquitetura; problemas de arredondamento contextual (compra de material em pacotes fechados) recorrentes em questões de matemática financeira e modelagem do ENEM.