Questão 164 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (sólidos de revolução) e visualização espacial
• ⚡ Nível: Difícil — exige o raciocínio inverso, do sólido 3D para a figura plana que o gera, pouco treinado nos exercícios de rotina
• 🎯 Tema/Habilidade: Sólidos de revolução — reconhecer a figura plana cuja rotação em torno de um eixo produz um sólido composto (cilindro do qual se retiram dois cones)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre as cinco figuras planas, qual delas, ao girar 360° em torno do eixo indicado, reproduz exatamente a anticlepsidra (cilindro equilátero menos dois cones opostos pelos vértices)?"
• Palavras-chave decisivas: rotação em torno do eixo, cones opostos pelos vértices, bases coincidem com as bases do cilindro
• Armadilha típica: confundir a anticlepsidra com a própria clepsidra (ampulheta): escolher a figura que gera um bicone isolado (dois cones grudados pelo vértice, sem a parede cilíndrica em volta), que é justamente o sólido que foi retirado, e não o que sobrou.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de "cortar" mentalmente o sólido por um plano que contém o eixo e reconhecer, nesse corte, o contorno plano (metade) que, girado, reconstrói tanto a parede cilíndrica quanto as duas superfícies cônicas internas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sólido de revolução: figura tridimensional obtida quando uma região plana gira 360° em torno de uma reta (eixo) contida no mesmo plano; cada ponto da região percorre uma circunferência centrada no eixo.
• Cilindro por rotação: um retângulo com um lado apoiado sobre o eixo gera um cilindro circular reto — esse lado vira a altura, e o lado perpendicular a ele vira o raio.
• Cone por rotação: um triângulo retângulo com um cateto sobre o eixo gera um cone — esse cateto é a altura do cone, o outro cateto é o raio da base, e a hipotenusa "desenha" a superfície lateral.
• Cilindro equilátero: cilindro cuja altura é igual ao diâmetro da base (h = 2r); essa proporção é o que garante que os vértices dos dois cones se encontrem exatamente no centro do eixo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "retirar dois cones opostos pelos vértices" → os cones se tocam por um único ponto (o vértice de cada um), voltados um para o outro — se fosse pelas bases, o sólido retirado seria outro (um bicone com "cintura" larga nas pontas), o que não é o caso.
• Evidência 2: "cujas bases coincidam com as bases desse cilindro" → a base de cada cone (raio r) ocupa inteiramente a face superior ou a inferior do cilindro; por isso, na anticlepsidra, não sobra nenhuma tampa plana nas extremidades — só a borda circular (o aro) permanece.
• Evidência 3 (da imagem): o contorno externo do sólido é o de um cilindro perfeito, intacto; por dentro, enxergam-se dois cones em tom mais escuro, com os vértices se tocando exatamente no meio da altura — a "cintura" do sólido, vista de fora, continua cilíndrica; só o interior foi esvaziado.
• Síntese: a figura plana geradora precisa, de um lado do eixo, ter uma borda reta e vertical a distância constante r do eixo (para reconstituir a parede do cilindro) e, do lado voltado para o eixo, dois segmentos inclinados que saem dos dois cantos (superior e inferior) e se encontram em um único ponto sobre o próprio eixo, na metade exata da altura.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzindo o sólido em medidas

Chame de r o raio do cilindro. Como ele é equilátero, a altura é h = 2r. Cada cone retirado tem base de raio r e altura r (metade de h), com o vértice situado exatamente na altura h/2 = r — ou seja, no ponto médio do eixo.

Subpasso 4.2 — Construindo a figura plana geradora

Trace o eixo como a reta vertical à esquerda. Do lado direito, desenhe o retângulo "molde do cilindro": vértices (0,0), (r,0), (r,2r) e (0,2r), com o lado de (0,0) a (0,2r) coincidindo com o eixo. Agora retire desse retângulo o triângulo (0,0)-(r,0)-(0,r) — responsável por desenhar o cone de baixo — e o triângulo (0,2r)-(r,2r)-(0,r) — responsável pelo cone de cima. Note que os dois triângulos retirados compartilham exatamente o ponto (0,r): o ponto médio do eixo, onde os vértices dos cones "se encontram", tal como o enunciado exige. O que sobra do retângulo depois de tirar essas duas pontas é uma única região triangular, de vértices (r,0), (0,r) e (r,2r): uma base vertical de comprimento 2r encostada na borda externa (a distância r do eixo) e um vértice único tocando o eixo bem na metade da altura. Essa é a silhueta que a alternativa correta precisa exibir.

Subpasso 4.3 — Verificação por rotação

Girando essa região 360° em torno do eixo: o segmento (r,0)-(r,2r), sempre à distância r do eixo, desenha a parede lateral do cilindro — intacta, como na figura do enunciado. O segmento (r,0)-(0,r) desenha a superfície lateral do cone inferior (base de raio r, vértice no centro). O segmento (0,r)-(r,2r) desenha a superfície lateral do cone superior. Não existe nenhum segmento horizontal ligando o eixo às extremidades y = 0 e y = 2r — por isso não aparecem "tampas" planas nas pontas do sólido gerado, exatamente como acontece na anticlepsidra (as bases dos cones consomem por completo os discos do cilindro). As três superfícies obtidas — parede cilíndrica + dois cones opostos pelo vértice no centro — batem ponto a ponto com a figura do enunciado. Confirma-se: a resposta é a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

Toda figura candidata precisa cumprir, ao mesmo tempo, quatro condições extraídas do Passo 4: (i) manter uma borda reta a distância constante r do eixo ao longo de toda a altura 2r (gera a parede cilíndrica); (ii) apresentar, do lado do eixo, dois segmentos retos — não um só, não curvos — partindo dos dois cantos; (iii) esses dois segmentos devem convergir para um único ponto, exatamente sobre o eixo e na metade da altura; (iv) não pode haver segmento horizontal ligando esse ponto às bordas nas extremidades (senão sobra tampa, o que a anticlepsidra não tem). Cada alternativa incorreta quebra pelo menos uma dessas condições.

A) Retângulo "cheio", sem nenhum recorte junto ao eixo

❌ Incorreta: viola a condição (ii). Sem os dois segmentos inclinados saindo dos cantos, a rotação de um retângulo inteiro produz apenas um cilindro maciço comum, sem qualquer cavidade cônica interna — ignora completamente a informação "retirar dois cones".

B) Figura com dois triângulos recortados junto ao eixo, convergindo no ponto médio da altura

✅ Correta: satisfaz as quatro condições ao mesmo tempo — borda externa constante a r (parede do cilindro), dois segmentos inclinados nascendo nos cantos superior e inferior, convergindo em um único ponto sobre o eixo à altura h/2, e nenhuma tampa horizontal nas extremidades. É exatamente a região (r,0)-(0,r)-(r,2r) obtida no Subpasso 4.2.

C) Triângulos cujo ponto de encontro está deslocado para a borda externa (junto à parede, não junto ao eixo)

❌ Incorreta: viola a condição (iii). Se o encontro dos dois segmentos ocorre na borda externa em vez de sobre o eixo, a rotação gera cones com vértice na "casca" do cilindro e deixa uma coluna de material colada ao eixo — um sólido invertido, com "miolo" sobrando no centro, que não corresponde à anticlepsidra da figura.

D) Apenas o bicone (dois triângulos formando uma silhueta de ampulheta), sem a borda vertical externa

❌ Incorreta: viola a condição (i). Sem o lado reto a distância constante r do eixo cobrindo toda a altura, a rotação não reconstitui a parede cilíndrica; o resultado é a própria clepsidra — o sólido que foi retirado —, exatamente o oposto do que a questão pede.

E) Recorte que não chega a tocar o eixo, deixando uma faixa estreita entre os triângulos e o eixo

❌ Incorreta: viola as condições (ii) e (iii). Se os segmentos inclinados param antes de alcançar o eixo, sobra ali um pequeno retângulo residual; ao girar, essa faixa desenha um cilindro maciço interno no centro do sólido, criando um "miolo" que a anticlepsidra da figura não possui (nela os dois cones se tocam em um único ponto, sem sobra de material no centro).

🏆 Gabarito: B — é a única silhueta que, ao girar 360° em torno do eixo, reconstrói ao mesmo tempo a parede cilíndrica intacta e as duas cavidades cônicas opostas pelos vértices no centro do eixo, exatamente como descrito no enunciado e mostrado na figura.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: B é a única figura em que o encontro dos dois segmentos inclinados cai exatamente sobre o eixo, na metade da altura — condição indispensável para gerar cones cujos vértices se tocam, e não cones com vértice deslocado nem um bicone desprovido de parede externa.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma explorar esse tipo de "engenharia reversa" — do sólido para a figura plana geradora — em questões de sólidos de revolução envolvendo objetos compostos (taças, arruelas, parafusos, ampulhetas e, aqui, a anticlepsidra).
• Generalização: para qualquer sólido de revolução, a figura plana geradora é sempre metade do corte meridional do sólido — o corte feito por um plano que contém o eixo. Basta imaginar o sólido cortado ao meio por esse plano e observar o contorno de uma das metades.
• Dica de eliminação rápida: primeiro verifique se a borda externa da figura fica sempre à mesma distância do eixo (senão o sólido não teria uma parede cilíndrica pura por fora); depois verifique onde os segmentos internos se encontram — se o ponto de encontro não estiver exatamente sobre o eixo, elimine a alternativa na hora.
• Conexões: sólidos de revolução (cilindro, cone, esfera); Princípio de Cavalieri; cálculo de volumes por subtração de sólidos.