Questão 155 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Logaritmos (propriedades e função logarítmica) aplicados a intervalos numéricos
• ⚡ Nível: Difícil — exige montar uma equação logarítmica com três variáveis (pH, A, B), ler corretamente uma tabela de classificação por faixas e transportar a abertura/fechamento dos intervalos de pH para o intervalo de B.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômenos científicos com função logarítmica; resolução de inequações logarítmicas e conversão entre notação de desigualdade e notação de intervalo (competência da Matriz ENEM ligada a funções exponenciais e logarítmicas).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que H = A/B, que A = 10⁻⁷ e que a água foi classificada como neutra, encontre o intervalo de valores possíveis para B."
• Palavras-chave decisivas: A = 10⁻⁷, neutra, quociente de A por B
• Armadilha típica: trocar a ordem da divisão (usar B/A em vez de A/B) ou perder o cuidado com o sinal do expoente de A, produzindo um intervalo com ordem de grandeza correta mas sinal invertido.
• O que a resposta precisa demonstrar: isolar B corretamente a partir de pH = log₁₀(1/H) e H = A/B, e depois transportar exatamente os limites (fechado em 6, aberto em 7,5) da faixa "Neutra" da tabela para o intervalo final de B.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Logaritmo decimal e suas propriedades: log(a/b) = log a − log b permite separar pH = log(1/H) = −log A + log B quando H = A/B, transformando uma razão em soma/diferença de logaritmos.
• Monotonicidade da função logarítmica: como a base 10 é maior que 1, log₁₀(x) é estritamente crescente — ao aplicar log ou 10^(·) aos dois lados de uma desigualdade, o sentido dela (≤, <) é preservado.
• Correspondência entre desigualdade e intervalo: "6 ≤ pH < 7,5" se traduz em [6, 7,5) — o colchete no 6 (incluído) e o parêntese no 7,5 (excluído) devem ser mantidos ao transformar a variável.
• Leitura de tabelas por faixas: o quadro particiona o eixo do pH em cinco faixas consecutivas e disjuntas; a relevante aqui é a que contém a palavra "Neutra".

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (imagem 1): "pH = log₁₀(1/H)" → define formalmente a relação entre o pH e a concentração de íons H, com log na base 10.
• Evidência 2 (imagem 2 — tabela): "6 ≤ pH < 7,5 → Neutra" → esta é a faixa numérica exata que a água da fonte deve satisfazer, com fronteira inferior incluída e superior excluída.
• Evidência 3 (enunciado): "H como sendo o quociente de A por B" e "A = 10⁻⁷" → H = 10⁻⁷/B, ou seja, B é o parâmetro que falta isolar.
• Síntese: o caminho é substituir H = A/B na fórmula do pH, isolar B em função de pH, e então aplicar diretamente os limites 6 e 7,5 (com a mesma abertura/fechamento da tabela) para obter o intervalo de B.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Isolar B em função de pH

Partindo de pH = log₁₀(1/H) = −log₁₀ H, substituímos H = A/B:

pH = −log₁₀(A/B) = −[log₁₀A − log₁₀B] = log₁₀B − log₁₀A

Como A = 10⁻⁷, temos log₁₀A = −7, logo:

pH = log₁₀B − (−7) = log₁₀B + 7 ⟹ log₁₀B = pH − 7

Ou seja, B = 10^(pH − 7). Essa é a relação-chave: para cada valor de pH, existe um único B correspondente, e como a função 10^x é crescente, quanto maior o pH, maior o B.

Subpasso 4.2 — Aplicar a faixa "Neutra" da tabela

A tabela informa que a água é classificada como neutra quando 6 ≤ pH < 7,5. Substituindo pH − 7 na desigualdade:

6 ≤ pH < 7,5

6 − 7 ≤ pH − 7 < 7,5 − 7

−1 ≤ log₁₀B < 0,5

Como y = 10^x é estritamente crescente, aplicamos 10^(·) aos três membros sem alterar o sentido das desigualdades:

10⁻¹ ≤ B < 10^(1/2)

Logo, B ∈ [10⁻¹, 10^(1/2)).

Subpasso 4.3 — Verificação

Testando os extremos: em pH = 6 (incluído), B = 10^(6−7) = 10⁻¹ = 0,1 — limite inferior fechado. Em pH = 7,5 (excluído), B = 10^(7,5−7) = 10^0,5 ≈ 3,16 — limite superior aberto. A abertura/fechamento de B replica exatamente a da tabela, confirmando que nenhuma desigualdade foi invertida. Em pH = 7 (centro da faixa neutra, valor clássico da água pura a 25 °C), B = 10⁰ = 1, coerente com A = 10⁻⁷ representando a concentração H de referência. O resultado [10⁻¹, 10^(1/2)) coincide exatamente com a alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) (−10^14,5, −10^13]

❌ Incorreta: apresenta um intervalo de números negativos, o que é fisicamente e matematicamente impossível — B = 10^(pH−7) é sempre uma potência de 10, portanto estritamente positiva para qualquer pH real. Essa alternativa surge de um erro de sinal ao manipular log A = log(10⁻⁷) = −7 (tratando o resultado como se devesse permanecer negativo na resposta final).

B) [10^(6/7), 10⁻¹)

❌ Incorreta: intervalo matematicamente inconsistente, pois 10^(6/7) ≈ 7,2 é maior que 10⁻¹ = 0,1 — o limite inferior escrito supera o superior, um "intervalo vazio" disfarçado. Reflete o erro de inverter a razão (calcular B/A em vez de A/B), gerando uma expressão sem sentido lógico, identificável de imediato ao comparar as ordens de grandeza.

C) [10⁻¹, 10^(1/2))

✅ Correta: é exatamente o resultado obtido em 4.2, com log B = pH − 7 aplicado corretamente à faixa 6 ≤ pH < 7,5 da tabela, preservando o colchete fechado no limite inferior e o parêntese aberto no superior.

D) [10^13, 10^14,5)

❌ Incorreta: os expoentes 13 e 14,5 correspondem a 6+7 e 7,5+7 — erro de sinal em que se soma 7 em vez de subtrair (equivalente a usar A = 10⁺⁷). A forma do intervalo (fechado-aberto) está certa, mas a ordem de grandeza é absurda para um parâmetro que deveria ficar próximo de 1.

E) [10^(6×10⁷), 10^(7,5×10⁷))

❌ Incorreta: os expoentes usam multiplicação (6×10⁷ e 7,5×10⁷) em vez da subtração pH − 7 — erro grosseiro de propriedades logarítmicas que gera números absurdamente grandes, descartável de imediato por análise de ordem de grandeza.

🏆 Gabarito: C — a substituição de H = A/B na fórmula pH = −log H, com A = 10⁻⁷, leva a log B = pH − 7; aplicando a faixa neutra 6 ≤ pH < 7,5 da tabela obtém-se exatamente B ∈ [10⁻¹, 10^(1/2)).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa positiva, com ordem de grandeza coerente (próxima de 1, compatível com pH ≈ 7) e abertura/fechamento idênticos aos da tabela original.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de embutir função logarítmica em contexto científico (pH, escala Richter, decibéis) e pedir para "voltar" da variável transformada (pH) à variável original (B), testando propriedades de log junto com leitura de tabelas.
• Generalização: quando uma grandeza é definida por equação logarítmica com múltiplas variáveis, isole a variável pedida em função da variável de referência (aqui, log B = pH − 7) antes de substituir os limites numéricos.
• Dica de eliminação rápida: descarte alternativas com números negativos (A) — B é potência de 10, sempre positivo; descarte intervalos "invertidos" (B); desconfie de expoentes obtidos por multiplicação em vez de soma/subtração (E).
• Conexões: escalas logarítmicas (Richter, decibéis, pH), inequações exponenciais e logarítmicas, notação de intervalos.