Questão 156 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões Geométricas (PG) e modelagem matemática de situações-problema
• ⚡ Nível: Médio — a conta é simples, mas o enunciado exige montar corretamente o modelo temporal (digitação + espera); a maioria das armadilhas está na contagem, não na álgebra
• 🎯 Tema/Habilidade: Soma dos termos de uma PG finita aplicada à tradução matemática de um problema cotidiano
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos segundos, ao todo, essa pessoa gastou digitando e esperando até conseguir ativar o rádio na 4ª tentativa?"
• Palavras-chave decisivas: quarta tentativa, duplica, imediatamente após a liberação
• Armadilha típica: somar apenas os tempos de espera (chega-se a 420, alternativa B) ou esquecer que também há espera logo antes da tentativa vencedora, já que ela é consequência do erro anterior (chega-se a 300, alternativa A).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir uma descrição verbal ("o tempo duplica a cada erro") em uma Progressão Geométrica e, principalmente, somar corretamente essa PG ao tempo fixo gasto digitando em TODAS as tentativas — as três erradas e a última, certa.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Progressão Geométrica (PG): sequência numérica em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante q. Aqui, q = 2, pois o enunciado diz explicitamente que o tempo de espera "duplica" a cada erro.
• Soma dos n primeiros termos de uma PG finita: Sn = a1·(qⁿ − 1)/(q − 1), válida para q ≠ 1, onde a1 é o primeiro termo e n é a quantidade de termos somados.
• Modelagem por blocos independentes: quando um processo intercala uma ação de duração fixa (digitar, sempre 30 s) com uma ação de duração variável (esperar, que cresce a cada repetição), o tempo total do processo é a soma desses dois blocos calculados separadamente — nunca se deve misturar as duas contagens em uma única progressão.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "sendo de 30 segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa" → toda tentativa, errada ou certa, consome exatamente 30 s de digitação. Foram 4 tentativas ao todo, logo o bloco de digitação é fixo: 4 × 30 s.
• Evidência 2: "No primeiro caso de erro [...] esperar 60 segundos [...] o tempo de espera duplica [...] a cada digitação errada" → cada erro dispara uma "penalidade" de espera, e essas penalidades formam uma PG de razão 2: 60 s, 120 s, 240 s — uma espera para cada um dos 3 erros.
• Evidência 3: "ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera" → não existe tempo morto extra entre o fim de uma espera e o início da digitação seguinte; e, como não houve um 4º erro, não existe uma 4ª espera — o processo termina no instante em que o código certo é digitado.
• Síntese: o tempo total é a soma de um bloco constante (4 digitações) com um bloco variável em PG (as esperas), e o número de esperas é sempre igual ao número de erros (3), jamais ao número de tentativas (4). Essa distinção é o núcleo da questão.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contar e somar o tempo de digitação

A pessoa digitou o código 4 vezes: 1ª (erro), 2ª (erro), 3ª (erro), 4ª (acerto). Como cada digitação — certa ou errada — consome 30 s:

Tempo de digitação = 4 × 30 = 120 segundos.

Subpasso 4.2 — Montar e somar a PG dos tempos de espera

Uma espera só existe DEPOIS de um erro (nunca depois de um acerto). Como houve 3 erros, existem exatamente 3 esperas:

• após o 1º erro: 60 s
• após o 2º erro: 60 × 2 = 120 s
• após o 3º erro: 120 × 2 = 240 s

Isso é uma PG de a1 = 60, q = 2 e n = 3 termos:

S₃ = a1·(q³ − 1)/(q − 1) = 60·(8 − 1)/(2 − 1) = 60 × 7 = 420 segundos.

(Conferência direta: 60 + 120 + 240 = 420 ✓.)

Subpasso 4.3 — Somar os dois blocos e verificar na linha do tempo

Tempo total = tempo de digitação + tempo de espera = 120 + 420 = 540 segundos.

Verificação percorrendo a linha do tempo evento a evento:

[digita 30 s] → erro → [espera 60 s] → [digita 30 s] → erro → [espera 120 s] → [digita 30 s] → erro → [espera 240 s] → [digita 30 s] → ACERTA.

Soma: 30 + 60 + 30 + 120 + 30 + 240 + 30 = 540 s ✓. O valor bate exatamente com a alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 300.

❌ Incorreta: soma certo as 4 digitações (120 s), mas conta só 2 esperas (60 + 120 = 180 s), esquecendo a espera de 240 s que ocorre depois do 3º erro — a última espera, que antecede justamente a tentativa vencedora. Quem erra assim pensa que "já que a próxima tentativa deu certo, não houve espera antes dela"; mas a espera é consequência do erro anterior e ocorre sempre, independentemente do resultado da tentativa seguinte.

B) 420.

❌ Incorreta: é exatamente a soma das três esperas (60 + 120 + 240), mas ignora por completo os 120 s gastos digitando o código. É a armadilha mais comum: o candidato monta certo a PG das esperas, mas esquece de somar o "custo fixo" de digitação, informado explicitamente no enunciado.

C) 540.

✅ Correta: soma do tempo fixo de digitação (4 × 30 = 120 s) com a PG de esperas (60 + 120 + 240 = 420 s), totalizando 120 + 420 = 540 segundos — exatamente o valor obtido no Passo 4.

D) 660.

❌ Incorreta: nasce de um erro de contagem no bloco de digitação — em vez de 4 digitações (120 s), o candidato conta 8 (240 s), tratando a digitação incorreta e a nova tentativa após a espera como dois eventos distintos a cada erro. Somando esse valor errado às esperas corretas (420 s), chega-se a 660 s: dupla contagem nas digitações, não erro na PG.

E) 1 020.

❌ Incorreta: surge ao assumir, erradamente, uma 4ª espera de 480 s (dobrando 240) depois da tentativa vencedora — como se toda tentativa, inclusive a que deu certo, fosse seguida de espera. Mas o sistema já é ativado na 4ª tentativa; não há espera depois dela. Somando as 4 digitações (120 s) a uma PG de 4 termos (60+120+240+480 = 900 s), chega-se a 1020 s — o valor que se obteria SE TODAS as 4 tentativas tivessem sido erradas, o que contraria o enunciado.

🏆 Gabarito: C — o tempo total é a soma de um bloco fixo (4 digitações × 30 s = 120 s) com uma PG de razão 2 e 3 termos (60 + 120 + 240 = 420 s), totalizando 540 segundos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa que soma corretamente os dois blocos do problema — 4 digitações de 30 s (fixo) e 3 esperas em PG de razão 2 a partir de 60 s (variável) — sem somar nem descartar nenhum termo indevido.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de "esconder" uma PG dentro de um enunciado do cotidiano (senha, juros, crescimento populacional, tempo de espera de sistemas). A pista textual é sempre um verbo de repetição multiplicativa: "duplica", "dobra", "triplica" em relação ao termo anterior.
• Generalização: sempre que houver n eventos que falham seguidos de 1 evento que dá certo, o número de "penalidades" é igual ao número de FALHAS, nunca ao número total de tentativas. Regra prática: número de esperas = número de tentativas − 1.
• Dica de eliminação rápida: separe mentalmente "quanto tempo digitando" (fixo) de "quanto tempo esperando" (PG). Se uma alternativa bater com apenas um dos blocos isolados (como 420, só as esperas), é pegadinha, não resposta final.
• Conexões: soma dos termos de uma PG finita; armadilhas de contagem "off-by-one"; modelagem matemática de situações cotidianas com crescimento multiplicativo.