Questão 159 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (hexágono regular e círculo inscrito)
• ⚡ Nível: Médio — exige relacionar o raio do círculo inscrito (apótema) com o lado do hexágono e, em seguida, aplicar a fórmula de área do hexágono regular.
• 🎯 Tema/Habilidade: Áreas de figuras planas — relação entre círculo inscrito e polígono regular.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo a área do círculo inscrito no hexágono regular que forma o contorno do pula-pula, calcule a área do próprio hexágono."
• Palavras-chave decisivas: círculo inscrito, hexágono regular, área
• Armadilha típica: confundir o raio do círculo inscrito (que é o apótema do hexágono) com o raio da circunferência circunscrita (que é igual ao lado do hexágono) — essa troca gera respostas erradas como 12√3 ou 9√2.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair o apótema a partir da área do círculo dado, converter esse apótema em lado do hexágono e aplicar corretamente a fórmula de área do hexágono regular.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Círculo inscrito em polígono regular: é o maior círculo que cabe dentro do polígono, tangente a todos os lados; seu raio coincide exatamente com o apótema do polígono.
• Apótema do hexágono regular: distância do centro até o ponto médio de um lado; para lado L, vale a = (L√3)/2, pois é a altura do triângulo equilátero que forma cada "fatia" do hexágono.
• Hexágono regular como soma de 6 triângulos equiláteros: todo hexágono regular de lado L se divide em 6 triângulos equiláteros de lado L, cada um com área (L²√3)/4; logo a área total é 6 × (L²√3)/4 = (3√3/2)·L².
• Área do círculo: A = π·r² — usada aqui para isolar o raio (apótema) a partir do dado numérico 3π fornecido no enunciado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "contorno em formato de um hexágono regular" → o pula-pula é modelado como um hexágono regular, autorizando o uso direto das fórmulas de polígonos regulares.
• Evidência 2: "a área do círculo inscrito no hexágono é 3π metros quadrados" → fornece πr² = 3π, permitindo calcular sem ambiguidade o raio desse círculo, que é justamente o apótema do hexágono.
• Evidência 3 (figura): a imagem mostra o hexágono circunscrevendo o círculo, com o centro O, o segmento r ligando O ao ponto médio do lado AB (ângulo reto marcado nesse encontro) e o lado L indicado entre A e B — isso confirma visualmente que r é o apótema (não o raio da circunferência que passaria pelos vértices).
• Síntese: o caminho de resolução é: área do círculo → raio r (apótema) → lado L do hexágono (via a = L√3/2) → área do hexágono (via soma dos 6 triângulos equiláteros).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Encontrar o raio (apótema) a partir da área do círculo

A área do círculo inscrito é dada por A_círculo = π·r². Como A_círculo = 3π m²:

π·r² = 3π

r² = 3

r = √3 m

Esse r é o raio do círculo inscrito, que geometricamente é o apótema do hexágono — o segmento que, na figura, vai do centro O até o ponto médio do lado AB formando ângulo reto com esse lado.

Subpasso 4.2 — Converter o apótema em lado do hexágono

No hexágono regular, o apótema a se relaciona com o lado L por a = (L√3)/2, pois é a altura do triângulo equilátero de lado L que compõe cada uma das 6 partes do hexágono. Substituindo a = √3:

√3 = (L√3)/2

L = 2√3/√3

L = 2 m

Subpasso 4.3 — Calcular a área do hexágono regular e verificar

Área do hexágono regular = (3√3/2)·L² (soma das áreas dos 6 triângulos equiláteros de lado L).

Área = (3√3/2)·(2)² = (3√3/2)·4 = 6√3 m²

Verificação: existe um atalho equivalente que liga a área do hexágono diretamente ao quadrado do apótema: Área = 2√3·r². Aplicando: 2√3·(√3)² = 2√3·3 = 6√3 m². Os dois caminhos coincidem, confirmando que o resultado 6√3 m² está correto.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 9

❌ Incorreta: surge se o fator √3 — marca registrada de qualquer área com triângulos equiláteros ou hexágonos — for descartado do cálculo, tratando a área como (3/2)·L² sem o radical. Não corresponde a nenhuma decomposição geométrica válida do hexágono.

B) 6√3

✅ Correta: é o resultado de (3√3/2)·L² com L = 2, confirmado também pelo atalho 2√3·r² com r = √3 — o único valor consistente com a relação correta entre apótema e lado do hexágono regular.

C) 9√2

❌ Incorreta: o radical √2 é assinatura de relações com quadrados (diagonal do quadrado), não de hexágonos, cuja geometria é sempre governada por triângulos equiláteros e, portanto, por √3. Nasce de uma mistura indevida entre fórmulas de figuras diferentes.

D) 12

❌ Incorreta: aparece se o candidato encontrar corretamente L = 2, mas aplicar a área sem o fator √3 — tratando cada uma das 6 partes do hexágono como triângulo retângulo simples, obtendo 6 × (2²/2) = 12, e ignorando que as 6 partes são triângulos equiláteros.

E) 12√3

❌ Incorreta: é o dobro do valor correto (6√3 × 2). Erro típico de quem confunde o raio do círculo inscrito com o lado do hexágono, tratando r = √3 como se já fosse metade do lado, ou usando o "diâmetro" do apótema em vez do próprio apótema.

🏆 Gabarito: B — com apótema r = √3 m, o lado do hexágono é L = 2 m, e a área do hexágono regular é (3√3/2)·2² = 6√3 m², valor que corresponde exatamente à alternativa B.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa B (6√3) resulta da aplicação correta e consistente das fórmulas de apótema e área do hexágono regular partindo de r = √3, sem misturas com fórmulas de outras figuras.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma "esconder" o dado geométrico direto (aqui, a área do círculo) para obrigar o candidato a extrair antes uma medida linear (raio/apótema) e só depois aplicar a fórmula de área de outra figura — é um clássico problema em cadeia de conversões.
• Generalização: sempre que o círculo inscrito em um hexágono regular tiver raio r, a área do hexágono vale 2√3·r² — vale a pena memorizar esse atalho para ganhar tempo em provas futuras.
• Dica de eliminação rápida: toda área correta de hexágono regular carrega obrigatoriamente o fator √3 (nunca √2, que é assinatura de quadrado/diagonal) — isso já elimina a alternativa C de cara; valores "redondos" sem radical, como 9 e 12, também são suspeitos, pois a fórmula do hexágono regular sempre envolve esse radical.
• Conexões: área de polígonos regulares; relação entre círculo inscrito/circunscrito e polígonos; triângulo equilátero como unidade geradora do hexágono.