Questão 140 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (transformações isométricas: reflexão e rotação no plano cartesiano)
• ⚡ Nível: Difícil — exige aplicar 5 isometrias em sequência (3 reflexões + 2 rotações em ângulos diferentes), sobre um centro de rotação fixo, sem perder o controle de posição e orientação da figura
• 🎯 Tema/Habilidade: Composição de isometrias (reflexão axial e rotação) — competência de leitura e interpretação de transformações no plano cartesiano
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Aplique, na ordem dada, 5 transformações geométricas (reflexões e rotações) a uma figura em forma de coração e identifique sua posição e orientação finais."
• Palavras-chave decisivas: "nessa ordem", "centro de rotação no ponto A", "sentido anti-horário / sentido horário"
• Armadilha típica: tratar o ponto A como se ele "andasse junto" com a figura de um passo para o outro, ou inverter mentalmente o sentido de uma das rotações — qualquer um dos dois erros muda completamente o resultado final.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de rastrear, passo a passo, como cada isometria altera a posição (quadrante) e a orientação (para onde a "ponta" do coração aponta) da figura, mantendo A como referência fixa do início ao fim.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Reflexão em torno de um eixo: "espelha" a figura através de uma reta fixa; todo ponto sobre o próprio eixo permanece parado, e todo ponto fora dele salta para o lado oposto, à mesma distância do eixo.
• Rotação em torno de um ponto: gira a figura inteira ao redor de um centro fixo, por um ângulo e um sentido determinados; o centro de rotação nunca se move, mas todos os outros pontos descrevem um arco ao seu redor.
• Composição de isometrias: quando se aplicam várias transformações em sequência, o resultado de cada etapa vira o ponto de partida da etapa seguinte — a ordem importa, e não se pode "pular" ou reorganizar os passos.
• Paridade das reflexões: cada reflexão inverte a lateralidade da figura; como o coração é simétrico em relação ao seu próprio eixo vertical, isso não distorce sua forma, mas afeta a direção para a qual sua "ponta" (cúspide) aponta a cada etapa.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (figura): o coração está desenhado inteiramente no 1º quadrante, com sua ponta inferior (cúspide) encostada no ponto A, que está sobre o eixo x positivo → a figura "nasce" apoiada no eixo x, com o corpo/lóbulos apontando para cima (Norte).
• Evidência 2: "centro de rotação no ponto A" aparece igual nas transformações 2 e 4 → A é um ponto fixo do plano (marcado na figura original), e não um ponto que acompanha o coração — ele continua na mesma posição do eixo x durante toda a resolução.
• Evidência 3: a sequência intercala reflexão-rotação-reflexão-rotação-reflexão (1, 2, 3, 4, 5) → é preciso resolver uma isometria de cada vez, sempre usando o resultado da etapa anterior como entrada da próxima.
• Síntese: o caminho é rastrear dois elementos ao longo das 5 etapas — (i) a posição da cúspide (que sai de cima de A) e (ii) a direção para onde o coração "abre" (da cúspide para o topo) — usando A = fixo como centro de giro.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando um modelo de referência

Para rastrear a figura com precisão, fixe A = (2, 0) sobre o eixo x (como na imagem) e marque dois pontos do coração: a cúspide P, que toca A, ou seja P₀ = (2, 0); e um ponto de "topo" T, no meio da abertura entre os lóbulos, diretamente acima de P, T₀ = (2, 3). O vetor de P para T aponta inicialmente para 90° (Norte, para cima) — é essa direção que vamos atualizar a cada transformação, junto da posição de P.

Subpasso 4.2 — Aplicando as 5 isometrias em sequência

| Etapa | Transformação | Nova posição da cúspide P | Nova direção P→T |

|---|---|---|---|

| Início | — | P₀ = (2, 0), sobre o eixo x, base do 1º quadrante | 90° (N) |

| 1ª | Reflexão no eixo x | P está sobre o eixo, não se move: P₁ = (2, 0) | 270° (S) — o coração vira de ponta-cabeça e passa a pender para o 4º quadrante |

| 2ª | Rotação 90° anti-horária em A | P continua em A (é o próprio centro): P₂ = (2, 0) | 0° (L) — o corpo gira e passa a se estender para a direita de A |

| 3ª | Reflexão no eixo y | P₂ espelha para o outro lado do eixo y: P₃ = (−2, 0) | 180° (O) — o corpo passa a se estender para a esquerda da nova cúspide, no 2º/3º quadrante |

| 4ª | Rotação 45° horária em A | P₃ gira 45° em torno de A = (2,0): P₄ = (2 − 2√2, 2√2) ≈ (−0,83; 2,83) | 135° (NO) — cúspide já dentro do 2º quadrante |

| 5ª | Reflexão no eixo x | P₄ espelha verticalmente: P₅ = (2 − 2√2, −2√2) ≈ (−0,83; −2,83) | 225° (SO) — figura cai inteira para o 3º quadrante |

Repare no padrão do ângulo: 90° → 270° → 0° → 180° → 135° → 225°. Cada reflexão inverte o sinal do ângulo (ou faz 180° − θ), e cada rotação apenas soma ou subtrai o ângulo girado — não há "achismo" possível se a regra for aplicada isoladamente em cada etapa.

Subpasso 4.3 — Verificação

A cúspide termina em P₅ = (2 − 2√2, −2√2) ≈ (−0,83; −2,83): x < 0 e y < 0, ou seja, a figura inteira está no 3º quadrante, com a direção P→T apontando para 225° (Sudoeste). Isso significa que a ponta do coração (cúspide) é o ponto mais próximo da origem, voltada para o Nordeste (na direção da diagonal y = x, de volta para o quadrante inicial), enquanto os dois lóbulos arredondados se afastam para Sudoeste, mais fundo no 3º quadrante. Como o coração é simétrico em relação ao seu próprio eixo, as 3 reflexões (número ímpar) não distorcem a silhueta — o resultado ainda é reconhecível como um coração, apenas girado e deslocado, exatamente como mostrado na alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Figura mantida próxima da posição original, no 1º quadrante, apoiada sobre o eixo x

❌ Incorreta: corresponde a "não aplicar" (ou desfazer) as transformações. Ignora que já a 1ª reflexão (eixo x) tira a figura do 1º quadrante e a joga para baixo do eixo — a posição inicial nunca se sustenta depois de 5 isometrias em sequência.

B) Figura no 3º quadrante, mas com a cúspide apontando para Sudoeste (para longe da origem) e os lóbulos para Nordeste

❌ Incorreta: é o erro clássico de trocar o sentido de uma das rotações (confundir "anti-horário" com "horário" na 2ª ou na 4ª etapa). Isso inverte o ângulo final em 90°, produzindo uma orientação especular à correta dentro do mesmo quadrante.

C) Figura inteiramente no 3º quadrante, com a cúspide voltada para Nordeste (na diagonal em direção à origem) e os lóbulos abertos para Sudoeste

✅ Correta: é exatamente o resultado obtido rastreando as 5 etapas com A fixo como centro — posição (2 − 2√2, −2√2) e direção 225° coincidem com essa descrição.

D) Figura no 2º ou 4º quadrante, deslocada como se o centro de rotação tivesse "seguido" a cúspide após a 3ª etapa

❌ Incorreta: reflete o erro de tratar A como um ponto móvel, que acompanharia a figura (usando P₃ como novo centro de rotação em vez do A original fixo sobre o eixo x). Isso desloca todo o resultado final para um quadrante errado.

E) Figura com a orientação correta (Nordeste/Sudoeste), mas ainda no 2º quadrante

❌ Incorreta: é o resultado de parar um passo antes do fim, esquecendo a 5ª transformação (a última reflexão no eixo x). Sem essa reflexão final, a figura fica presa no 2º quadrante (posição obtida logo após a 4ª etapa), e não desce para o 3º.

🏆 Gabarito: C — depois das 5 isometrias aplicadas rigorosamente na ordem dada, a cúspide do coração termina em (2 − 2√2, −2√2), no 3º quadrante, apontando para Nordeste — exatamente a posição e orientação retratadas na alternativa C.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa C reproduz simultaneamente o quadrante final correto (3º) e a orientação final correta (cúspide para Nordeste), resultado que só se obtém aplicando as 5 transformações na ordem exata do enunciado, com A sempre fixo.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra transformações geométricas isoladas (uma reflexão ou uma rotação) com mais frequência do que composições longas como esta; quando aparece uma sequência de várias isometrias, o erro mais visado pela banca é justamente a confusão entre "centro fixo" e "centro que acompanha a figura", além da troca de sentido de rotação.
• Generalização: para qualquer sequência de isometrias, escolha um ponto de referência da própria figura (aqui, a cúspide) e um vetor de orientação (aqui, cúspide→topo); atualize os dois, transformação por transformação, sem tentar "visualizar tudo de uma vez" — reflexão no eixo x nega o y (e inverte o ângulo), reflexão no eixo y nega o x (e faz 180° − θ), rotação soma ou subtrai o ângulo girado.
• Dica de eliminação rápida: conte quantas reflexões existem na sequência — número ímpar (como aqui, 3 reflexões) sempre produz uma orientação "espelhada" em relação a uma rotação pura equivalente; isso já elimina de cara qualquer alternativa que pareça uma simples rotação da figura original sem nenhuma inversão de lateralidade.
• Conexões: simetria axial e de rotação, plano cartesiano, vetores e ângulos, composição de funções (a mesma lógica de "aplicar transformações em cadeia" aparece em funções compostas f(g(x)) e em matrizes de rotação no Ensino Médio/pré-vestibular.