Questão 149 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (distribuição binomial e análise combinatória)
• ⚡ Nível: Médio — exige reconhecer que "dois meninos e duas meninas" é apenas UM entre vários resultados possíveis igualmente prováveis, e não simplesmente "50%"
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de probabilidade em experimentos com repetição de eventos equiprováveis (H28/H29 da Matriz de Referência — resolver problema com raciocínio combinatório e calcular probabilidade de eventos)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Em uma gestação de 4 bebês (quadrigêmeos), qual a chance de o resultado ser exatamente 2 meninos e 2 meninas, considerando que cada criança tem 50% de chance de ser menino ou menina?"
• Palavras-chave decisivas: quadrigêmeos (n = 4 nascimentos), dois meninos e duas meninas (exatamente 2 de cada, não "pelo menos"), probabilidade (pede uma fração/razão entre casos favoráveis e possíveis)
• Armadilha típica: achar que, como a chance de menino é 1/2, a chance de "2 e 2" também é 1/2 — confundir probabilidade de um evento individual com a probabilidade de uma configuração específica dentre várias possíveis para 4 nascimentos.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de listar (ou contar via combinação) todas as sequências possíveis de sexo entre os 4 bebês, identificar quantas delas têm exatamos 2 meninos, e dividir pelo total de sequências igualmente prováveis.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Espaço amostral independente: cada um dos 4 nascimentos tem 2 resultados possíveis (M ou F), com probabilidade 1/2 cada. Total: 2⁴ = 16 sequências igualmente prováveis.
• Combinação simples: para contar quantas dessas 16 sequências têm exatamente 2 meninos, calcula-se C(4,2) = 4!/(2!·2!) = 6 — o número de formas de escolher 2 posições (entre 4) para os meninos.
• Probabilidade de Laplace: P(evento) = casos favoráveis ÷ casos possíveis, aqui P = 6/16.
• Distribuição binomial: P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) formaliza o mesmo raciocínio: com p = 1/2, cada sequência tem prob. (1/2)⁴ = 1/16, e há 6 sequências favoráveis.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "está grávida de quadrigêmeos" → n = 4 nascimentos independentes; não há gêmeos idênticos mencionados, então cada bebê tem probabilidade individual de 1/2 para cada sexo, como em qualquer gestação isolada.
• Evidência 2: "probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas" → evento composto: exatamente 2 sucessos (meninos) em 4 tentativas — pede-se P(X = 2), não P(X ≥ 2) nem P(pelo menos 1 de cada).
• Síntese: a questão testa se o aluno reconhece que a resposta não é "1/2" (ingenuamente associada à chance individual de cada sexo), mas sim a fração de sequências favoráveis dentro de todo o espaço amostral de 16 combinações possíveis — exigindo contagem combinatória antes da divisão.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar o espaço amostral e a probabilidade de cada sequência

Cada um dos 4 filhos pode ser menino (M) ou menina (F), com P(M) = P(F) = 1/2, em nascimentos independentes. O total de sequências possíveis é 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴ = 16, e cada sequência específica (MMFF, MFMF, FMFM etc.) tem a mesma probabilidade: (1/2)⁴ = 1/16.

Subpasso 4.2 — Contar as sequências com exatamente 2 meninos e 2 meninas

Equivale a escolher, entre as 4 posições de nascimento, quais 2 são meninos (as outras 2 são meninas automaticamente): C(4,2) = 4!/(2!×2!) = 6. Conferindo por listagem: MMFF, MFMF, MFFM, FMMF, FMFM, FFMM — exatamente 6 sequências.

Subpasso 4.3 — Verificação

Como as 6 sequências favoráveis são mutuamente exclusivas, soma-se: P(2M e 2F) = 6 × 1/16 = 6/16 = 3/8. Confirmando pelo modelo binomial: P(X=2) = C(4,2)·(1/2)²·(1/2)² = 6·1/4·1/4 = 3/8, valor que bate exatamente com a alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/16

❌ Incorreta: é a probabilidade de UMA única sequência específica (por exemplo, só MMMM ou só MMFF isoladamente) — esquece de multiplicar pelo número de sequências favoráveis C(4,2) = 6.

B) 3/16

❌ Incorreta: equivale à metade do valor correto (3/8 ÷ 2). Surge de quem calcula C(4,2) = 6 certo, mas divide por 32 em vez de 16, confundindo o tamanho do espaço amostral.

C) 1/4

❌ Incorreta: 1/4 = 4/16 não corresponde a nenhuma contagem coerente — pode vir de usar C(4,1) = 4 no lugar de C(4,2) = 6, calculando por engano a probabilidade de "1 menino entre os 4".

D) 3/8

✅ Correta: 3/8 = 6/16 é o resultado de C(4,2) × (1/2)⁴ = 6 × 1/16, contando as 6 sequências com 2 meninos e 2 meninas dentro das 16 sequências totais igualmente prováveis.

E) 1/2

❌ Incorreta: é a probabilidade individual de UM bebê nascer menino (ou menina) — erro clássico de associar diretamente a chance individual de cada sexo à chance do evento composto "2 e 2", ignorando as demais distribuições possíveis (4M, 3M1F, 1M3F, 4F) que também disputam o espaço amostral.

🏆 Gabarito: D — a probabilidade de nascerem exatamente dois meninos e duas meninas entre quadrigêmeos é 3/8, resultado de C(4,2) × (1/2)⁴ = 6/16 = 3/8.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa compatível com a contagem correta das 6 sequências favoráveis (de 16 possíveis) em que exatamente 2 dos 4 nascimentos são meninos — resultado que bate tanto pelo raciocínio combinatório direto quanto pela fórmula binomial.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorre com frequência a esse tipo de "experimento com múltiplos eventos equiprováveis" (moedas, filhos, dados, sorteios) para testar se o aluno sabe montar o espaço amostral corretamente e não se contenta com a probabilidade "ingênua" de um único evento.
• Generalização: sempre que o problema pedir "exatamente k sucessos em n tentativas independentes com probabilidade p cada", a resposta é P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k); quando p = 1/2, isso simplifica para C(n,k) / 2^n.
• Dica de eliminação rápida: se a alternativa for igual à probabilidade individual de um único evento (aqui, 1/2), ela quase sempre está errada — o enunciado pede uma combinação de eventos, não um evento isolado. Além disso, o denominador da fração final deve ser uma potência de 2 compatível com 2ⁿ (aqui, 16), o que já elimina alternativas com denominador 4.
• Conexões: binômio de Newton e triângulo de Pascal (os coeficientes 1, 4, 6, 4, 1 de (a+b)⁴ são exatamente os números de casos para 0, 1, 2, 3 e 4 meninos); problemas de moedas lançadas simultaneamente seguem a mesma lógica.