Questão 137 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim (equação da reta a partir do gráfico)
• ⚡ Nível: Fácil — basta ler dois pontos do gráfico e montar a equação y = mx + b, sem contas complexas
• 🎯 Tema/Habilidade: Construção da lei de formação de uma função afim a partir de um gráfico cartesiano (competência de leitura e interpretação de gráficos, EM13MAT404/H21-H25)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre a lei y = f(x) que descreve o gráfico dado, em que y é a quantidade de combustível (L) e x é a distância percorrida (km)."
• Palavras-chave decisivas: quantidade de combustível no tanque, distância percorrida, segmento de reta
• Armadilha típica: trocar o sinal do coeficiente angular (achar que o consumo "soma" combustível em vez de "gastar") ou usar a escala errada dos eixos, confundindo litros com dezenas de litros e quilômetros com centenas de quilômetros.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar corretamente o coeficiente linear (valor de y quando x = 0) e o coeficiente angular (taxa de variação de y em relação a x), respeitando as escalas exatas indicadas nos eixos do gráfico.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim: função do tipo y = mx + b, cujo gráfico é sempre uma reta (ou um segmento de reta, quando o domínio é restrito, como neste caso, em que x varia de 0 a 500 km).
• Coeficiente linear (b): é o valor de y quando x = 0, ou seja, o ponto em que a reta cruza o eixo vertical. Fisicamente, representa a quantidade inicial de combustível no tanque.
• Coeficiente angular (m): é a taxa de variação de y em relação a x, calculada por m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) entre dois pontos quaisquer da reta. Fisicamente, representa o consumo de combustível por quilômetro rodado — por isso é negativo, já que o combustível diminui conforme a distância aumenta.
• Leitura de escalas em gráficos: antes de tirar qualquer conclusão numérica, é essencial conferir o espaçamento real entre as marcações dos eixos (aqui, o eixo x varia de 100 em 100 km e o eixo y de 5 em 5 L), para não confundir "quantidade de quadradinhos" com "valor real".

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque" → confirma que, em x = 0 km, y = 50 L. Esse é o coeficiente linear b = 50.
• Evidência 2: "dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível tenha sido consumido" → indica que a reta termina quando y = 0, ou seja, existe um segundo ponto conhecido em que o combustível se esgota.
• Evidência 3 (do gráfico): o segmento de reta cruza o eixo x exatamente em x = 500 km, quando y = 0 L → fornece o segundo ponto necessário para calcular a inclinação: (500, 0).
• Síntese: com os dois pontos (0, 50) e (500, 0) extraídos diretamente do gráfico, é possível montar a equação da reta completa, calculando primeiro o coeficiente angular e depois confirmando o coeficiente linear.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar os dois pontos da reta

Do gráfico, extraímos com precisão dois pontos pelos quais o segmento de reta passa:

• Ponto inicial: (x₁, y₁) = (0, 50) → quando nenhuma distância foi percorrida, o tanque tem os 50 L colocados no início do teste.
• Ponto final: (x₂, y₂) = (500, 0) → quando o carro percorreu 500 km, todo o combustível já foi consumido (y = 0).

Subpasso 4.2 — Calcular o coeficiente angular (m)

$$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{0 - 50}{500 - 0} = \dfrac{-50}{500} = -\dfrac{1}{10}$$

O coeficiente angular negativo (m = −1/10) confirma que a função é decrescente: a cada 10 km percorridos, o carro consome exatamente 1 litro de combustível — uma leitura coerente com a inclinação suave da reta no gráfico (ela cai devagar, não abruptamente).

Subpasso 4.3 — Montar a equação e verificar

Como b = 50 (o próprio ponto em que a reta corta o eixo y) e m = −1/10, a lei de formação é:

$$y = -\dfrac{1}{10}x + 50 \quad \text{ou, de forma equivalente,} \quad y = -\dfrac{x}{10} + 50$$

Verificação com os dois pontos conhecidos:

• Em x = 0: y = −(0)/10 + 50 = 50 ✓ (bate com o ponto inicial do gráfico)
• Em x = 500: y = −(500)/10 + 50 = −50 + 50 = 0 ✓ (bate com o ponto final do gráfico, onde o combustível se esgota)
• Conferência extra com um ponto intermediário do gráfico, x = 200: y = −(200)/10 + 50 = −20 + 50 = 30 L, valor plenamente compatível com a curva traçada no gráfico entre 25 e 35 L.

A expressão y = −x/10 + 50 está confirmada e corresponde exatamente à alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) y = −10x + 500

❌ Incorreta: inverte a escala dos coeficientes. Aqui, o coeficiente angular (−10) e o linear (500) foram "trocados de posição de grandeza" em relação aos corretos (−1/10 e 50). Além disso, com essa fórmula, já em x = 50 km o tanque estaria com y = 0, contradizendo o gráfico, que mostra combustível ainda disponível até x = 500 km.

B) y = −x/10 + 50

✅ Correta: coeficiente linear b = 50 (quantidade inicial de combustível, ponto onde a reta corta o eixo y) e coeficiente angular m = −1/10 (taxa de consumo, calculada corretamente pela variação entre os pontos (0, 50) e (500, 0) do gráfico). É a única expressão que satisfaz simultaneamente os dois pontos extremos do segmento de reta.

C) y = −x/10 + 500

❌ Incorreta: mantém o coeficiente angular certo (−1/10), mas usa o coeficiente linear errado (500 em vez de 50). Isso violaria o próprio enunciado, que informa que apenas 50 litros foram colocados no tanque — não 500.

D) y = x/10 + 50

❌ Incorreta: erra o sinal do coeficiente angular. Com m positivo, a função seria crescente, ou seja, o combustível aumentaria conforme o carro rodasse — o oposto do que descreve o problema (consumo de combustível) e do que mostra o gráfico (reta descendente).

E) y = x/10 + 500

❌ Incorreta: comete os dois erros anteriores simultaneamente — sinal do coeficiente angular trocado (positivo em vez de negativo) e coeficiente linear incompatível com o enunciado (500 em vez de 50).

🏆 Gabarito: B — y = −x/10 + 50 é a única expressão que reproduz corretamente os dois pontos do segmento de reta do gráfico, (0, 50) e (500, 0), respeitando tanto a quantidade inicial de combustível quanto a taxa de consumo por quilômetro.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa B combina simultaneamente o valor inicial correto (b = 50, os litros colocados no início) com a inclinação correta (m = −1/10, calculada exatamente a partir dos pontos do gráfico); todas as demais alteram pelo menos um desses dois valores.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente a "leitura de gráfico linear" em contextos de consumo (combustível, água em uma caixa d'água, saldo bancário, depreciação de um bem): sempre um segmento de reta decrescente que começa em um valor inicial (b) e chega a zero após certa distância/tempo (raiz da função).
• Generalização: para qualquer função afim y = mx + b lida em um gráfico, o coeficiente linear b é sempre o valor de y onde a reta cruza o eixo vertical (x = 0), e o coeficiente angular m é sempre a razão entre a variação total de y e a variação total de x entre dois pontos conhecidos da reta — nunca "chute" esses valores, sempre leia as escalas com atenção.
• Dica de eliminação rápida: em segundos, você já elimina D e E porque toda função de "consumo" ou "gasto" deve ser decrescente (m negativo) — sobrando A, B e C. Depois, basta lembrar que o problema começou com 50 litros (não 500 nem 10x isso) para eliminar A e C, restando só B.
• Conexões: interpretação de gráficos cartesianos; razão e proporcionalidade (taxa de consumo constante); outras aplicações de função afim no ENEM, como tarifas de táxi, contas de água/luz e depreciação linear de veículos.