Questão 138 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções: proporcionalidade inversa e leitura de gráficos (função hiperbólica)
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade não está em contas, mas em traduzir um enunciado físico (a Segunda Lei de Ohm) para o comportamento gráfico correto de uma relação y = k/x
• 🎯 Tema/Habilidade: Reconhecer, entre representações gráficas, a curva que traduz uma proporcionalidade inversa entre duas grandezas — competência de leitura e interpretação de gráficos, um dos pilares da área de Matemática no ENEM
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre cinco gráficos, qual mostra R caindo à medida que S cresce, de um jeito que o produto R × S permaneça sempre constante?"
• Palavras-chave decisivas: inversamente proporcional, resistência elétrica R, área da seção transversal S
• Armadilha típica: confundir "inversamente proporcional" com "simplesmente decrescente". Uma reta com coeficiente angular negativo também "cai quando o outro sobe", mas isso é proporcionalidade direta com sinal negativo (ou nem proporcionalidade é, se houver termo independente) — não é proporcionalidade inversa. Proporcionalidade inversa exige que o produto das duas grandezas seja constante (R·S = k), o que gera necessariamente uma curva (hipérbole), nunca uma reta.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar a curva que nunca toca os eixos, decresce o tempo todo e tem concavidade voltada para cima — a "marca registrada" visual de y = k/x, diferenciando-a de retas e de outras curvas decrescentes que não obedecem R·S = k.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Proporcionalidade direta: y = k·x (k constante, k>0). Gráfico é uma reta que passa pela origem e cresce.
• Proporcionalidade inversa: y é inversamente proporcional a x quando x·y = k (constante), ou seja, y = k/x. Para x,y>0, o gráfico é um ramo de hipérbole equilátera restrito ao 1º quadrante.
• Segunda Lei de Ohm (a física por trás do enunciado): R = ρ·L/S, em que ρ é a resistividade do material e L é o comprimento do condutor. Como o condutor é homogêneo (mesmo material, mesmo comprimento), ρ e L não mudam quando variamos apenas a área S — logo R = k/S com k = ρ·L constante. É exatamente uma proporcionalidade inversa "disfarçada" de lei física.
• Assíntotas da hipérbole y=k/x (x,y>0): a curva se aproxima do eixo vertical quando x→0 (y→+∞) e se aproxima do eixo horizontal quando x→+∞ (y→0), sem jamais tocar nenhum dos dois eixos nem assumir valores negativos.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "A resistência elétrica R de um condutor homogêneo é inversamente proporcional à área S de sua seção transversal" → define formalmente a lei R = k/S, com k>0, e não uma simples relação "quanto maior um, menor o outro" genérica.
• Evidência 2: "o gráfico que representa a variação da resistência R... em função da área S" → deixa claro que S é a variável independente (eixo horizontal) e R é a variável dependente (eixo vertical), orientação que precisa ser respeitada na leitura de cada alternativa.
• Síntese: Juntando as duas evidências, buscamos o gráfico de R(S) = k/S: função estritamente decrescente, sempre positiva, com concavidade voltada para cima, que se aproxima dos dois eixos sem tocá-los. Isso já elimina de cara qualquer reta e qualquer curva que cruze um eixo em um ponto finito.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir o enunciado físico em expressão matemática

"R inversamente proporcional a S" se escreve como R = k/S, com k = ρ·L constante (o condutor é homogêneo, então ρ não muda; o comprimento L também é fixo — só a área da seção varia). Essa é a mesma estrutura algébrica de qualquer proporcionalidade inversa: R·S = k.

Subpasso 4.2 — Analisar o comportamento de R(S) = k/S para S > 0

• Quando S → 0⁺ (fio finíssimo), R → +∞: o gráfico "dispara" para cima, colando-se ao eixo R sem tocá-lo.
• Quando S → +∞ (fio bem grosso), R → 0⁺: o gráfico se aproxima do eixo S por cima, cada vez mais achatado, sem nunca encostar nem ficar negativo.
• No meio do caminho, a função é monótona decrescente e côncava para cima — o clássico "gancho" de hipérbole no primeiro quadrante.

Vale testar com números para fixar a ideia: tomando k = 12, temos S=1 → R=12; S=2 → R=6; S=4 → R=3; S=12 → R=1. Repare que em todos os pares o produto R·S = 12 se mantém — essa constância do produto é a assinatura matemática da proporcionalidade inversa, e ao marcar os pontos (1,12), (2,6), (4,3), (12,1) no plano obtém-se exatamente essa curva que despenca rápido no início e depois se estabiliza rente ao eixo horizontal.

Subpasso 4.3 — Verificação

Comparando esse comportamento com o que cada alternativa apresenta: descartamos toda reta (representaria proporcionalidade direta ou função afim, com produto R·S variável) e toda curva que toque algum eixo em ponto finito ou que cresça com S. Sobra a curva que começa alta perto do eixo R, cai suavemente e se aproxima de zero conforme S aumenta, sem jamais tocar os eixos — exatamente o traço da alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Reta decrescente

❌ Incorreta: uma reta do tipo R = −m·S + b representa uma função afim, não uma proporcionalidade inversa. Nela o produto R·S não é constante, e a reta cruza o eixo S em um ponto finito — o que fisicamente significaria que existe uma área finita para a qual a resistência é zero, algo sem sentido para um condutor real.

B) Curva decrescente que não preserva o produto constante

❌ Incorreta: mesmo decrescendo, essa curva não satisfaz R·S = k em todos os pontos (sua concavidade ou a forma como se aproxima dos eixos não corresponde à hipérbole 1/S) — decrescer sozinho não basta para caracterizar proporcionalidade inversa.

C) Hipérbole no 1º quadrante, decrescente, côncava para cima, assintótica aos dois eixos

✅ Correta: é exatamente o gráfico de R = k/S. Decresce em toda sua extensão, nunca toca os eixos R e S e mantém o produto das coordenadas constante em qualquer ponto da curva, cumprindo à risca a definição de proporcionalidade inversa dada no enunciado.

D) Reta crescente

❌ Incorreta: uma reta crescente indicaria que R aumenta quando S aumenta — ou seja, proporcionalidade direta, o oposto exato do que o enunciado descreve ("inversamente proporcional").

E) Curva decrescente "mais suave", quase linear

❌ Incorreta: decresce, mas com uma taxa de queda incompatível com 1/S — o produto R·S não permanece constante ao longo da curva. Pode parecer parecida com a hipérbole à primeira vista, mas não reproduz o comportamento assintótico característico de R=k/S.

🏆 Gabarito: C — é a única curva que decresce, permanece sempre positiva e mantém o produto R·S constante, exatamente o que a proporcionalidade inversa exige.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa cujo formato geométrico — decrescente, côncavo para cima, assintótico aos dois eixos — corresponde a uma função R = k/S com k constante positivo.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de contextualizar proporcionalidade (direta ou inversa) com situações físicas ou cotidianas — leis de Ohm, velocidade × tempo em percurso fixo, pressão × volume (Lei de Boyle) — e pedir o reconhecimento do gráfico ou da equação correspondente.
• Generalização: sempre que uma grandeza y for inversamente proporcional a uma grandeza x (y = k/x, k>0), o gráfico é um ramo de hipérbole no primeiro quadrante: decrescente, nunca toca os eixos e nunca muda de sinal.
• Dica de eliminação rápida: descarte de imediato qualquer reta (proporcionalidade inversa nunca gera reta) e qualquer curva crescente; para confirmar a sobrevivente, escolha dois pontos da curva e multiplique as coordenadas — se o produto não se mantiver aproximadamente constante, a alternativa cai fora.
• Conexões: função afim × função inversa; Segunda Lei de Ohm (R = ρL/S); outras leis físicas de proporcionalidade inversa, como a Lei de Boyle (P·V = constante) e a Lei da Gravitação Universal (força inversamente proporcional ao quadrado da distância).