Questão 139 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões Geométricas (PG)
• ⚡ Nível: Fácil — basta reconhecer um padrão de razão constante e aplicar divisões sucessivas por 2.
• 🎯 Tema/Habilidade: Reconhecimento e construção de sequências numéricas com razão constante (PG), aplicada a um contexto interdisciplinar (teoria musical).
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "A partir da semibreve valendo 1, encontre a sequência de durações da mínima até a semifusa, sabendo que cada figura vale metade da anterior."
• Palavras-chave decisivas: proporcionais entre si, equivalente à de duas [figuras seguintes], semibreve tem duração de uma unidade.
• Armadilha típica: confundir a relação "a duração de uma semibreve equivale à de duas mínimas" com "mínima = 2", quando na verdade essa relação diz o oposto — é a mínima que vale a metade da semibreve, pois são necessárias duas mínimas para "preencher" o tempo de uma semibreve.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir uma relação de proporção verbal ("duas figuras menores cabem em uma maior") em uma sequência numérica decrescente, identificando corretamente que se trata de uma progressão geométrica de razão 1/2, começando em 1/2 (pois a pergunta não pede a semibreve, e sim a partir da mínima).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Progressão Geométrica (PG): sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o termo anterior por uma constante chamada razão (q). Aqui, q = 1/2.
• Proporcionalidade inversa entre quantidade e duração: se uma semibreve "cabe" em duas mínimas, cada mínima dura a metade do tempo da semibreve. O mesmo raciocínio se repete em cada par de figuras vizinhas (mínima/semínima, semínima/colcheia, etc.).
• Figuras de duração musicais: semibreve, mínima, semínima, colcheia, semicolcheia, fusa e semifusa formam uma hierarquia em que cada símbolo seguinte representa a metade do tempo do anterior — na notação, isso é visualmente sugerido pelo acréscimo progressivo de "bandeirinhas" na haste da nota (a colcheia tem uma bandeirinha, a semicolcheia duas, a fusa três, a semifusa quatro), como mostra a imagem do enunciado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "A duração de tempo de uma semibreve é equivalente à de duas mínimas" → se 2 mínimas = 1 semibreve = 1 unidade, então 1 mínima = 1/2 unidade.
• Evidência 2: "a duração de uma mínima é equivalente à de duas semínimas, a duração de uma semínima equivale à de duas colcheias e assim por diante, seguindo a ordem dada" → a regra "vale metade da figura anterior" se repete de forma constante para toda a sequência — é a definição de uma PG de razão 1/2.
• Síntese: partindo de semibreve = 1 (dado explícito do enunciado) e aplicando sucessivamente a razão 1/2 a cada nova figura, chega-se a uma cadeia de valores decrescentes. Como a pergunta pede a sequência a partir da mínima (não inclui a semibreve), o primeiro termo pedido já é 1/2, e não 1.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Estabelecer o termo inicial e a razão da PG

O enunciado fixa: semibreve = 1 (unidade de referência). A relação "cada figura equivale à metade da duração da figura anterior" define uma progressão geométrica com:

• Primeiro termo (semibreve): a₁ = 1
• Razão: q = 1/2

Usando a fórmula do termo geral de uma PG, aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹, cada figura subsequente é obtida multiplicando a anterior por 1/2 (ou, de forma equivalente, dividindo por 2).

Subpasso 4.2 — Calcular cada figura solicitada

A questão pede a sequência a partir da mínima (2ª figura) até a semifusa (7ª figura). Aplicando a razão 1/2 sucessivamente a partir da semibreve = 1:

| Figura | Posição (n) | Valor |

|---|---|---|

| Semibreve | 1 | 1 |

| Mínima | 2 | 1 × 1/2 = 1/2 |

| Semínima | 3 | 1/2 × 1/2 = 1/4 |

| Colcheia | 4 | 1/4 × 1/2 = 1/8 |

| Semicolcheia | 5 | 1/8 × 1/2 = 1/16 |

| Fusa | 6 | 1/16 × 1/2 = 1/32 |

| Semifusa | 7 | 1/32 × 1/2 = 1/64 |

Logo, a sequência pedida (mínima → semifusa) é:

1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64

Subpasso 4.3 — Verificação

Confira o padrão: cada denominador é uma potência de 2 crescente — 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶ — o que confirma uma PG de razão 1/2. Além disso, a soma de todas as sete figuras (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64) tende a 2, coerente com a soma de uma série geométrica infinita de razão 1/2 (a₁/(1−q) = 1/(1−1/2) = 2), o que reforça a consistência matemática do padrão. Comparando com as alternativas fornecidas na imagem, o valor 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 corresponde exatamente à alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2, 4, 8, 16, 32, 64

❌ Incorreta: inverte a lógica da proporção — usa razão 2 (multiplicação) em vez de 1/2 (divisão). Isso faria cada figura durar o dobro da anterior, quando na verdade dura a metade, já que figuras "menores" (mínima, semínima etc.) representam frações cada vez menores do tempo da semibreve.

B) 1, 2, 4, 8, 16, 32

❌ Incorreta: além de repetir o erro de razão 2 em vez de 1/2, começa o primeiro termo em 1 — mas o valor 1 já foi atribuído à semibreve no enunciado, e a semibreve não faz parte da sequência pedida (que vai da mínima à semifusa). Essa alternativa erra tanto na razão quanto no ponto de partida.

C) 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32

❌ Incorreta: usa corretamente a razão 1/2, mas comete um deslocamento de posição — inclui erroneamente o valor da semibreve (1) como se fosse a mínima, e para na fusa (1/32) sem chegar à semifusa. É a alternativa mais "armadilha", pois testa se o aluno lembra que a sequência pedida começa na mínima, não na semibreve.

D) 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64

❌ Incorreta: não é uma progressão geométrica, e sim uma sequência que se aproxima de 1 (cada termo é da forma (2ⁿ−1)/2ⁿ). Não representa a relação de "metade da duração anterior" descrita no enunciado — é um padrão matematicamente diferente, criado para confundir quem não testa a regra de formação com atenção.

E) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64

✅ Correta: é exatamente a PG de razão 1/2 iniciada no valor da mínima (1/2), respeitando a regra de que cada figura seguinte dura a metade da anterior, partindo da semibreve = 1 mas começando a listagem pedida na mínima, como o comando exige.

🏆 Gabarito: E — a sequência 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 é a única que aplica corretamente a razão 1/2 a partir da mínima (não da semibreve), reproduzindo com exatidão a regra de proporcionalidade descrita no enunciado.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra E é a única sequência que é, ao mesmo tempo, uma PG de razão 1/2 (elemento matemático) e começa no termo correto (a mínima, não a semibreve — elemento de leitura atenta do comando).
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma usar contextos não matemáticos (música, biologia, física, economia) para "camuflar" uma PG ou PA simples; a dificuldade real não está na conta, mas em traduzir a relação verbal do enunciado para a linguagem matemática correta.
• Generalização: sempre que um enunciado disser "cada elemento vale metade (ou o dobro) do anterior", trata-se de uma PG de razão 1/2 (ou 2). Escreva o termo geral aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹ e substitua os valores com calma, prestando atenção em qual termo é o "primeiro" pedido pela pergunta.
• Dica de eliminação rápida: verifique primeiro a razão (deve ser 1/2, decrescente) — isso elimina A e B de cara. Depois, verifique o termo inicial (deve começar em 1/2, não em 1) — isso elimina C. Por fim, confira se os termos formam frações do tipo 1/2ⁿ (potências puras de 2) e não frações do tipo (2ⁿ−1)/2ⁿ — isso elimina D, restando apenas E.
• Conexões: progressões geométricas; séries geométricas infinitas e convergência; proporcionalidade e razão; notação musical e frações do tempo (compasso).