Questão 174 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Frações e Proporcionalidade (capacidade de carga)
• ⚡ Nível: Médio — exige converter três grandezas diferentes (cimento, cal, areia) para frações de uma mesma capacidade total e somá-las com denominadores distintos.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problemas envolvendo frações, proporção e capacidade máxima compartilhada entre produtos diferentes.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Depois de reservar espaço para 15 sacos de cimento e 30 sacos de cal, quantas latas de areia cabem no restante da capacidade do caminhão?"
• Palavras-chave decisivas: capacidade máxima, ou ... ou ... ou, maior quantidade possível
• Armadilha típica: somar diretamente os números de sacos e latas (15 + 30 + X), ignorando que cimento, cal e areia têm capacidades máximas diferentes (60, 90 e 120) e, portanto, "pesam" de forma diferente na capacidade do caminhão.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir "60 OU 90 OU 120" em frações equivalentes de uma mesma capacidade total e usar essas frações para descobrir quanto já foi ocupado e quanto sobra para a areia.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Capacidade de carga como "1 inteiro": se o caminhão leva no máximo 60 sacos de cimento (e nada mais), esses 60 sacos representam 100% da capacidade. O mesmo vale para 90 sacos de cal ou 120 latas de areia isoladamente.
• Fração unitária de cada produto: se 60 sacos de cimento = capacidade total, então 1 saco de cimento equivale a 1/60 da capacidade. Analogamente, 1 saco de cal equivale a 1/90 e 1 lata de areia equivale a 1/120 da capacidade.
• Quanto maior a quantidade máxima, menor a fração de cada unidade: como 120 > 90 > 60, cada lata de areia ocupa proporcionalmente menos espaço do que cada saco de cimento ou de cal.
• Soma de frações com denominadores diferentes: para descobrir quanto da capacidade já foi usada com cimento e cal, é preciso um denominador comum (mmc) e depois subtrair esse total do inteiro (1) para achar o espaço que sobra.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "é possível levar 60 sacos de cimento, ou 90 sacos de cal, ou 120 latas de areia" → define três equivalências de carga plena: 60 cimento = 90 cal = 120 areia = 1 capacidade máxima completa (o "ou" indica que cada quantidade, sozinha, já esgota o caminhão).
• Evidência 2: "15 sacos de cimento, 30 sacos de cal e a maior quantidade de latas de areia possível, atingindo a capacidade máxima" → cimento e cal já ocupam parte da capacidade, e a areia deve completar exatamente o restante — não é livre, é o valor que "fecha" a carga no limite máximo.
• Síntese: é preciso calcular a fração da capacidade ocupada por 15 sacos de cimento (dos 60 possíveis) e por 30 sacos de cal (dos 90 possíveis), subtrair essa soma do inteiro, e converter a fração restante em latas de areia usando a equivalência de que 120 latas preenchem a capacidade toda.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Fração da capacidade usada com cimento

Cada saco de cimento ocupa 1/60 da capacidade do caminhão. Logo, 15 sacos ocupam:

15/60 = 1/4 da capacidade (25%).

Subpasso 4.2 — Fração da capacidade usada com cal

Cada saco de cal ocupa 1/90 da capacidade. Logo, 30 sacos ocupam:

30/90 = 1/3 da capacidade (≈ 33,3%).

Subpasso 4.3 — Fração da capacidade que sobra para a areia

A capacidade total é o inteiro (1). O espaço restante, depois de reservar cimento e cal, é:

1 − 1/4 − 1/3

Usando mmc(1, 4, 3) = 12: 12/12 − 3/12 − 4/12 = 5/12 da capacidade ainda disponível para a areia.

Subpasso 4.4 — Conversão da fração restante em latas de areia

Como 120 latas de areia representam a capacidade cheia (1 inteiro), a quantidade de latas que cabe em 5/12 dessa capacidade é:

(5/12) × 120 = 5 × 10 = 50 latas de areia.

Subpasso 4.5 — Verificação

Conferindo se as três parcelas somadas fecham exatamente 1 (100% da capacidade):

1/4 (cimento) + 1/3 (cal) + 5/12 (areia) = 3/12 + 4/12 + 5/12 = 12/12 = 1 ✅

Em número de latas, 50 unidades correspondem a 50/120 = 5/12 da capacidade — exatamente o valor calculado. A única alternativa compatível com esse resultado é 50.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 30

❌ Incorreta: corresponde a admitir que sobra 1/4 da capacidade para a areia (30/120 = 1/4), como se cimento e cal juntos já tivessem ocupado 3/4 da carga — erro típico de somar mal as frações (1/4 + 1/2 em vez de 1/4 + 1/3).

B) 40

❌ Incorreta: equivale a considerar que sobra 1/3 da capacidade (40/120 = 1/3), como se apenas o espaço do cimento (1/4) tivesse sido descontado do inteiro e o da cal (1/3) tivesse sido esquecido no cálculo.

C) 50

✅ Correta: é o resultado de 1 − 1/4 − 1/3 = 5/12 da capacidade, convertido em latas de areia: (5/12) × 120 = 50. É o único valor que faz cimento, cal e areia somarem, juntos, 100% da capacidade máxima do caminhão.

D) 80

❌ Incorreta: 80/120 = 2/3 da capacidade, valor que surgiria se o cálculo somasse a fração da cal em dobro (1/3 + 1/3), sem descontar corretamente as duas cargas já usadas.

E) 90

❌ Incorreta: repete literalmente o número 90 do enunciado (quantidade máxima de sacos de cal) sem nenhum cálculo — confunde um dado fornecido com a resposta, esquecendo que a pergunta pede latas de areia, não sacos de cal.

🏆 Gabarito: C — depois de descontar da capacidade total as frações ocupadas por cimento (1/4) e cal (1/3), restam 5/12 da capacidade, que correspondem a exatamente 50 latas de areia.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a letra C (50) satisfaz simultaneamente as três condições do problema — 15 sacos de cimento (1/4 da capacidade), 30 sacos de cal (1/3) e a fração restante (5/12) somando exatamente a capacidade máxima do caminhão.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma disfarçar problemas de razão e proporção como "capacidades alternativas" (isso OU aquilo OU aquilo outro), exigindo reconhecer que cada alternativa isolada representa 100% de uma mesma grandeza física.
• Generalização: sempre que um enunciado disser "no máximo A de X, ou B de Y, ou C de Z" para a mesma capacidade, transforme cada unidade em uma fração (1/A, 1/B, 1/C) da capacidade total e trate essas frações como partes de um único inteiro que precisa somar 1.
• Dica de eliminação rápida: calcule a fração de cada item já usado — aqui, 15/60 = 1/4 e 30/90 = 1/3, ambas frações simples. Se a soma já ultrapassar 1, algo está errado; o valor restante deve estar sempre entre 0 e 1, o que descarta de cara alternativas como 90 (que só repete um dado do texto).
• Conexões: problemas de mistura e capacidade compartilhada; regra de três composta; soma de frações com mmc.