Questão 163 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Logaritmos (propriedades operatórias e definição de log)
• ⚡ Nível: Médio — a fórmula já é dada pronta, mas exige reconhecer que uma subtração de logaritmos vira log de uma razão, e depois converter esse log de volta em potência de base 10.
• 🎯 Tema/Habilidade: Logaritmos aplicados a fenômenos naturais (escala Richter); competência de interpretar um modelo matemático (função logarítmica) descrito em texto e usá-lo para comparar duas grandezas físicas.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Usando M = log(A/A₀), calcule quantas vezes a amplitude do terremoto do Japão (M = 9,0) é maior que a da Argentina (M = 7,0)."
• Palavras-chave decisivas: razão entre as amplitudes, log, magnitude
• Armadilha típica: subtrair as magnitudes (9,0 − 7,0 = 2) e marcar diretamente "2,0", esquecendo que esse "2" é o valor do logaritmo da razão, não a razão em si — é preciso ainda desfazer o logaritmo elevando 10 a essa diferença.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da propriedade log a − log b = log(a/b) e da relação inversa entre logaritmo e potenciação (10^log x = x).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Definição de logaritmo: log₁₀(x) = y significa que 10^y = x. É a operação inversa da potenciação de base 10.
• Propriedade da subtração de logaritmos: log a − log b = log(a/b), válida para a, b > 0 e mesma base. É a peça-chave para eliminar a amplitude de referência A₀, que é comum aos dois terremotos.
• Escala logarítmica (Richter): cada unidade a mais na magnitude representa multiplicar a amplitude por 10. Por isso, diferenças pequenas na escala (como de 7,0 para 9,0) escondem diferenças gigantescas na grandeza física real.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "M = log(A/A₀), em que A é a amplitude do movimento vertical do solo... A₀ é uma amplitude de referência" → define a fórmula geral, com A₀ constante e igual para qualquer terremoto medido.
• Evidência 2: "terremoto de 9,0 graus... atingiu o Japão" e "terremoto de 7,0 graus... atingiu... Santiago Del Estero" → fornece M_Japão = 9,0 e M_Argentina = 7,0, os dois valores a substituir na fórmula.
• Síntese: como A₀ aparece igual nas duas equações, subtrair M_Japão − M_Argentina cancela A₀ e isola justamente a razão A_Japão/A_Argentina dentro de um logaritmo — é esse logaritmo que precisa ser "desfeito" para chegar à razão numérica pedida.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever a equação de Richter para cada terremoto

Para o Japão: M_J = log(A_J/A₀) = 9,0

Para a Argentina: M_A = log(A_A/A₀) = 7,0

Subpasso 4.2 — Subtrair as duas equações para cancelar A₀

M_J − M_A = log(A_J/A₀) − log(A_A/A₀)

9,0 − 7,0 = log[(A_J/A₀) ÷ (A_A/A₀)]

2 = log(A_J/A_A)

Aqui a propriedade log a − log b = log(a/b) fez o A₀ desaparecer, restando um único logaritmo igual à razão de amplitudes que queremos.

Subpasso 4.3 — Verificação: desfazer o logaritmo

Se log₁₀(A_J/A_A) = 2, então, pela definição de logaritmo:

A_J/A_A = 10² = 100

Conferindo com as alternativas: 100 é exatamente a opção (D). Faz sentido fisicamente também: como cada grau na escala Richter multiplica a amplitude por 10, uma diferença de 2 graus corresponde a 10 × 10 = 100 vezes mais amplitude — o terremoto do Japão teve movimento do solo 100 vezes maior que o da Argentina.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1,28

❌ Incorreta: esse valor é aproximadamente 9/7 ≈ 1,2857, ou seja, resulta de dividir diretamente as magnitudes (9,0 ÷ 7,0) como se a escala Richter fosse linear. Ignora completamente que M é um logaritmo, não a própria amplitude.

B) 2,0

❌ Incorreta: é a diferença das magnitudes (9,0 − 7,0 = 2), não a razão das amplitudes. Esse é o erro mais comum: parar no valor do logaritmo e esquecer de aplicar a exponenciação (10²) para obter a razão real.

C) 10^(9/7)

❌ Incorreta: surge de um erro de manipulação algébrica, dividindo os expoentes 9 e 7 em vez de subtraí-los. A propriedade correta de logaritmos gera uma diferença de expoentes (9 − 7), nunca uma divisão de magnitudes dentro do expoente.

D) 100

✅ Correta: é o resultado exato de 10^(9,0 − 7,0) = 10² = 100, obtido ao aplicar corretamente a propriedade log a − log b = log(a/b) e depois desfazer o logaritmo.

E) 10⁹ − 10⁷

❌ Incorreta: trata cada magnitude como se fosse diretamente o expoente de uma potência de amplitude bruta (10⁹ e 10⁷) e depois subtrai essas potências, quando na verdade a operação correta é dividir as amplitudes (não subtrair), e o expoente relevante é a diferença das magnitudes (2), não as magnitudes originais (9 e 7) usadas isoladamente como expoentes.

🏆 Gabarito: D — a diferença de magnitudes (9,0 − 7,0 = 2) é o logaritmo da razão das amplitudes; desfazendo o logaritmo obtém-se 10² = 100, a única alternativa consistente com a definição de escala logarítmica.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa que resulta de aplicar corretamente as duas etapas necessárias — subtrair os logaritmos para cancelar A₀ e depois exponenciar a diferença (10²) — todas as outras param no meio do caminho ou usam a operação errada.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de apresentar fórmulas logarítmicas de fenômenos reais (Richter, pH, decibéis, meia-vida radioativa) e pedir que o aluno compare duas medidas, testando se ele sabe transformar diferença de logaritmos em razão de potências.
• Generalização: sempre que uma grandeza for definida por G = log(X/X₀), a diferença ΔG entre duas medições corresponde a log(X₁/X₂); logo, a razão X₁/X₂ é sempre igual à base elevada a ΔG (aqui, 10^ΔG).
• Dica de eliminação rápida: ao ver "razão entre grandezas numa escala logarítmica", descarte de cara qualquer alternativa que apenas subtraia ou divida os valores brutos da escala (aqui, B e A caem imediatamente) — a resposta correta quase sempre é a base elevada à diferença das medidas.
• Conexões: escala de pH (acidez), escala de decibéis (intensidade sonora) — ambas seguem a mesma lógica logarítmica de comparação entre grandezas.