Questão 162 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sistemas de numeração posicional e conversão de unidades
• ⚡ Nível: Médio — exige montar um sistema de "câmbio" entre quatro moedas diferentes e somar corretamente quatro totais, o que é simples em teoria mas propício a deslizes de cálculo
• 🎯 Tema/Habilidade: Reconhecer regularidades e conversões entre grandezas (aqui, entre "moedas" de jogo) — competência de resolução de problemas com sistemas de numeração em bases não decimais
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Converta as fichas de cada jogador em pontos e ordene os três jogadores da maior para a menor pontuação."
• Palavras-chave decisivas: trocadas, ponto, classificações
• Armadilha típica: somar diretamente a quantidade de fichas de cada jogador (ignorando que elas têm valores diferentes) ou comparar apenas a cor mais valiosa, sem converter tudo para a mesma unidade.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir uma regra de troca em cadeia (vermelha → azul → branca → verde) em um valor numérico único e comparável para cada jogador.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sistema de numeração posicional: assim como no sistema decimal cada posição vale uma potência de 10, aqui cada cor de ficha vale uma potência de 3 (1, 3, 9, 27), porque a razão de troca é sempre "3 para 1".
• Conversão para uma unidade comum: para comparar grandezas heterogêneas (aqui, quatro "moedas" com valores distintos), é preciso primeiro converter tudo para a menor unidade — no caso, pontos (fichas vermelhas).
• Ordenação de totais: depois de obter um número único por jogador, a classificação é apenas a ordem decrescente desses totais — o problema "esconde" a dificuldade na conversão, não na ordenação em si.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Cada ficha vermelha vale um ponto." → define a unidade-base: vermelha = 1 ponto.
• Evidência 2: "Três fichas vermelhas podem ser trocadas por uma azul, três fichas azuis podem ser trocadas por uma branca, e três fichas brancas podem ser trocadas por uma verde." → estabelece a cadeia de conversão: azul = 3 pontos, branca = 3 × 3 = 9 pontos, verde = 3 × 9 = 27 pontos.
• Síntese: a régua de valores (vermelha = 1, azul = 3, branca = 9, verde = 27) permite transformar a tabela de fichas de cada jogador em um único número de pontos, que é o critério de desempate e classificação pedido pelo comando.

A tabela da figura fornece as quantidades de cada cor para os três jogadores:

| Jogador | Fichas verdes | Fichas brancas | Fichas azuis | Fichas vermelhas |

|---|---|---|---|---|

| A | 3 | 1 | 1 | 4 |

| B | 2 | 4 | 0 | 9 |

| C | 1 | 5 | 8 | 2 |

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Estabelecer o valor de cada cor em pontos

Pela cadeia de trocas descrita no enunciado, cada cor equivale a uma potência de 3 (porque a razão de conversão é sempre "3 fichas por 1"):

• Vermelha = 3⁰ = 1 ponto
• Azul = 3¹ = 3 pontos
• Branca = 3² = 9 pontos
• Verde = 3³ = 27 pontos

Subpasso 4.2 — Calcular o total de pontos de cada jogador

Multiplica-se a quantidade de fichas de cada cor pelo seu valor em pontos e soma-se tudo:

Jogador A: 3 × 27 + 1 × 9 + 1 × 3 + 4 × 1 = 81 + 9 + 3 + 4 = 97 pontos

Jogador B: 2 × 27 + 4 × 9 + 0 × 3 + 9 × 1 = 54 + 36 + 0 + 9 = 99 pontos

Jogador C: 1 × 27 + 5 × 9 + 8 × 3 + 2 × 1 = 27 + 45 + 24 + 2 = 98 pontos

Subpasso 4.3 — Verificação e ordenação

Colocando os totais em ordem decrescente: B (99) > C (98) > A (97). Logo, o 1º lugar é B, o 2º lugar é C e o 3º lugar é A. Observe como os totais ficam muito próximos (97, 98 e 99) — isso não é coincidência: o enunciado foi construído propositalmente para que apenas a conversão correta e completa (com todas as quatro cores) permita distinguir os jogadores; qualquer atalho de cálculo tende a embaralhar a ordem, como será mostrado no Passo 5.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) A, B e C.

❌ Incorreta: essa ordem surge de um erro conceitual comum — comparar apenas a quantidade da ficha mais valiosa (a verde), sem converter o restante. Nessa lógica, A tem 3 verdes, B tem 2 e C tem 1, o que sugere A > B > C. Mas o jogador com mais fichas verdes pode perder pontos por ter poucas fichas nas outras cores: A soma apenas 97 pontos no total, ficando em último lugar de fato.

B) B, A e C.

❌ Incorreta: essa ordem aparece quando se calcula o total de B e A corretamente (99 e 97), mas se comete um deslize ao converter C — por exemplo, esquecer de somar as 2 fichas vermelhas "soltas" de C. Sem elas, o total de C cairia para 96, ficando abaixo de A (97) e gerando a sequência B, A, C. O erro está em não completar a soma de todas as parcelas de C.

C) C, B e A.

❌ Incorreta: essa é a armadilha mais forte da questão — somar diretamente a quantidade de fichas de cada jogador, sem multiplicar pelo valor de cada cor. Nesse cálculo ingênuo, A tem 3+1+1+4 = 9 fichas, B tem 2+4+0+9 = 15 fichas e C tem 1+5+8+2 = 16 fichas, o que dá C > B > A. Esse raciocínio ignora completamente que uma ficha verde vale 27 vezes mais que uma vermelha — tratar fichas de cores diferentes como equivalentes é o erro central.

D) B, C e A.

✅ Correta: ao converter corretamente cada cor em pontos (vermelha = 1, azul = 3, branca = 9, verde = 27) e somar as quatro parcelas de cada jogador, obtêm-se os totais B = 99, C = 98 e A = 97. A ordem decrescente é exatamente B, C, A — primeiro, segundo e terceiro lugares, respectivamente.

E) C, A e B.

❌ Incorreta: essa ordem surge se houver troca dos valores de branca e azul (usar branca = 3 e azul = 9, invertendo a potência correta). Com esse engano, o total de C dispararia para 116, o de A permaneceria 97 e o de B cairia para 75, produzindo C, A, B. O erro está em não respeitar a ordem correta da cadeia de trocas (vermelha → azul → branca → verde), que define crescentemente os valores 1, 3, 9 e 27.

🏆 Gabarito: D — convertendo cada cor de ficha em pontos (1, 3, 9 e 27, respectivamente) e somando as quatro parcelas de cada jogador, obtêm-se os totais 99 (B), 98 (C) e 97 (A), o que classifica os jogadores, na ordem pedida, como B, C e A.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra D reflete o total exato de pontos de cada jogador (B = 99, C = 98, A = 97); todas as outras alternativas correspondem a atalhos de cálculo que ignoram ou distorcem o valor real de cada cor de ficha.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa com frequência esse tipo de "moeda em cadeia" (trocas sucessivas de razão fixa) para testar, de forma disfarçada, o entendimento de sistemas de numeração posicional — o candidato reconhece a estrutura sem que a palavra "base" apareça no enunciado.
• Generalização: sempre que um problema envolver "trocas" ou "conversões" em cadeia com uma razão fixa k (aqui, k = 3), cada nível da cadeia vale k elevado à posição em que aparece; a comparação final só é válida depois que todos os elementos são convertidos para a mesma unidade.
• Dica de eliminação rápida: desconfie de qualquer alternativa que reproduza a ordem "intuitiva" da quantidade bruta de fichas mais valiosas (aqui, a ordem das fichas verdes: A, B, C) — isso quase sempre é a alternativa-armadilha, porque ignora as demais cores.
• Conexões: sistemas de numeração em outras bases (binário, ternário, hexadecimal); problemas de conversão de moedas e unidades de medida com razões fixas entre níveis.