Questão 171 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (decomposição de polígonos, área de trapézio e de triângulo)
• ⚡ Nível: Médio — as fórmulas são básicas, mas a questão exige enxergar a diagonal certa para decompor um pentágono irregular em duas figuras conhecidas.
• 🎯 Tema/Habilidade: Área de figuras planas por decomposição — competência de interpretar dados geométricos (lados, paralelismo e distâncias) e traduzi-los em elementos de fórmulas de área.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Some as áreas das partes que formam o terreno pentagonal ABCDE e encontre a área total, em m²."
• Palavras-chave decisivas: diagonal AD, paralela ao lado BC, distância
• Armadilha típica: tratar as "distâncias" (8 m e 20 m) como se fossem lados do polígono, ou tentar aplicar uma única fórmula de área para o pentágono inteiro sem decompô-lo — o que é impossível, pois pentágono irregular não tem fórmula direta.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato identifica a diagonal AD como o elemento que separa o pentágono em um trapézio e um triângulo, e que sabe que cada "distância" informada é justamente a altura relativa a essa diagonal em cada uma dessas figuras.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Diagonal de um polígono: segmento que liga dois vértices não consecutivos. Em um pentágono, uma diagonal bem escolhida divide a figura em regiões mais simples (aqui, um quadrilátero e um triângulo).
• Trapézio e sua área: quadrilátero com um par de lados paralelos (as bases). Área = (Base maior + Base menor)/2 × altura, onde a altura é a distância perpendicular entre as duas bases paralelas.
• Triângulo e sua área: Área = (base × altura)/2, sendo a altura a distância perpendicular do vértice oposto até a reta que contém a base.
• Princípio da decomposição de áreas: se um polígono é dividido por uma diagonal (ou por retas auxiliares) em partes que não se sobrepõem e cobrem toda a figura, a área total é a soma das áreas dessas partes.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a diagonal AD mede 50 m e é paralela ao lado BC, que mede 29 m" → existe um trapézio com bases paralelas AD (50 m) e BC (29 m), formado pelos vértices A, B, C e D.
• Evidência 2: "A distância do ponto B a AD é de 8 m" → como B está sobre a reta paralela a AD (a reta que contém BC), essa distância é exatamente a altura do trapézio ABCD.
• Evidência 3: "a distância do ponto E a AD é de 20 m" → o vértice E, que fica do outro lado da diagonal AD, forma com A e D um triângulo ADE; essa distância é a altura desse triângulo em relação à base AD.
• Síntese: a diagonal AD é a "linha de corte" que separa o pentágono ABCDE em duas regiões complementares — o trapézio ABCD (acima/à esquerda de AD) e o triângulo ADE (abaixo/à direita de AD). Basta calcular cada área separadamente e somar.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Decompor o pentágono com a diagonal AD

Observando a figura: o pentágono tem vértices A (esquerda), B e C (topo), D (direita) e E (base). Traçando a diagonal AD, o pentágono se divide em:

• Quadrilátero ABCD → como AD ∥ BC, é um trapézio de bases AD = 50 m e BC = 29 m, com altura igual à distância entre as retas paralelas, isto é, a distância de B a AD = 8 m.
• Triângulo ADE → base AD = 50 m, altura igual à distância de E a AD = 20 m.

Como essas duas regiões juntas preenchem exatamente o pentágono, sem sobreposição:

Área(ABCDE) = Área(trapézio ABCD) + Área(triângulo ADE)

Subpasso 4.2 — Calcular cada área e somar

Área do trapézio ABCD:

Área = (Base maior + Base menor)/2 × altura = (50 + 29)/2 × 8 = 79/2 × 8 = 39,5 × 8 = 316 m²

Área do triângulo ADE:

Área = (base × altura)/2 = (50 × 20)/2 = 1000/2 = 500 m²

Área total do terreno:

Área = 316 + 500 = 816 m²

Subpasso 4.3 — Verificação

Confira as ordens de grandeza: o trapézio tem bases médias (~40 m) com altura pequena (8 m), então sua área deve ficar na casa das centenas baixas (316 m² é coerente). O triângulo tem base longa (50 m) com altura razoável (20 m), então sua área deve ser maior (500 m² é coerente, já que equivale a um retângulo 50×20 dividido ao meio). A soma 316 + 500 = 816 m² bate exatamente com a alternativa C, confirmando que a decomposição e as contas estão corretas.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 658.

❌ Incorreta: surge de um erro na altura do trapézio — se, por engano, a altura de 8 m for dividida novamente por 2 (usando 4 m em vez de 8 m, como se a "distância" precisasse ser reduzida à metade), o trapézio fica com (50+29)/2 × 4 = 158 m². Somando ao triângulo correto (500 m²), chega-se a 158 + 500 = 658 m² — um valor que subestima a parcela do trapézio pela metade.

B) 700.

❌ Incorreta: corresponde a aplicar diretamente a fórmula de área de um quadrilátero cujas diagonais são perpendiculares (Área = diagonal × soma das distâncias dos vértices ÷ 2) como se o pentágono fosse apenas essa figura, ignorando que BC é um lado com comprimento próprio, e não um único ponto: 50 × (8 + 20)/2 = 50 × 14 = 700 m². Esse raciocínio "funde" B e C em um só vértice, perdendo a existência do trapézio.

C) 816.

✅ Correta: é exatamente a soma da área do trapézio ABCD (316 m²) com a área do triângulo ADE (500 m²), obtida ao decompor corretamente o pentágono pela diagonal AD e aplicar as fórmulas de área do trapézio e do triângulo com as bases e alturas certas.

D) 1 132.

❌ Incorreta: resulta de esquecer a divisão por 2 na fórmula do trapézio, calculando (50 + 29) × 8 = 632 m² em vez de 316 m², enquanto a área do triângulo é calculada corretamente (500 m²). A soma errada fica 632 + 500 = 1132 m² — o dobro da parcela do trapézio.

E) 1 632.

❌ Incorreta: é o erro mais grave, em que a divisão por 2 é esquecida em ambas as fórmulas: trapézio (50+29) × 8 = 632 m² e triângulo 50 × 20 = 1000 m², somando 632 + 1000 = 1632 m² — exatamente o dobro do valor correto (2 × 816 = 1632), o que mostra que o erro conceitual é sistemático, não pontual.

🏆 Gabarito: C — a área do terreno é a soma do trapézio ABCD (316 m²) com o triângulo ADE (500 m²), totalizando 816 m², única alternativa compatível com a decomposição correta do pentágono pela diagonal AD.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: 816 m² é o único valor que resulta da aplicação correta e completa das fórmulas de trapézio e triângulo sobre a decomposição real da figura; qualquer outro valor decorre de esquecer uma divisão por 2 ou de interpretar mal qual distância pertence a qual figura.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente apresenta terrenos, lotes ou regiões em formato de polígono irregular e espera que o candidato "quebre" a figura em triângulos, trapézios ou retângulos cujas áreas já são conhecidas — geralmente usando uma diagonal ou uma altura como ponte entre as partes.
• Generalização: sempre que um polígono irregular tiver uma diagonal citada explicitamente com uma condição de paralelismo, essa diagonal é o convite do enunciado para decompor a figura; procure quais vértices ficam de cada lado dela e que figuras eles formam.
• Dica de eliminação rápida: calcule cada parcela isoladamente (trapézio e triângulo) antes de somar — se algum valor de resposta for exatamente o dobro de outro (como 1632 = 2×816, ou 1132 comparado a 816+parte do trapézio), desconfie de esquecimento da divisão por 2 nas fórmulas, um erro clássico de prova.
• Conexões: área de figuras compostas; teorema de Tales e paralelismo entre retas; problemas de agrimensura e medição de terrenos (tema recorrente em Matemática aplicada do ENEM).