Questão 151 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Aritmética, Inequações e Modelagem de Problemas
• ⚡ Nível: Médio — envolve várias etapas de cálculo e uma inequação estrita cujo arredondamento exige atenção
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de um problema real (perda de massa corporal) por meio de somas de fases com taxas distintas e resolução de uma inequação para encontrar o menor número inteiro de meses
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o menor número total de meses de regime necessário para a pessoa sair de 167 kg e chegar a 71 kg, sabendo que a perda mensal em qualquer fase deve ser sempre inferior a 5 kg?"
• Palavras-chave decisivas: inferior a 5 kg, perda mensal fixa, duração mínima
• Armadilha típica: calcular apenas a fase final (esquecendo de somar os 7 meses já cumpridos) ou tratar a restrição "inferior a 5 kg" como se fosse "até 5 kg", arredondando o resultado da inequação na direção errada.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato sabe decompor o regime em fases, calcular quanto ainda falta perder e resolver corretamente uma inequação estrita para achar o menor n inteiro de meses da última fase.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Modelagem por fases: quando um processo muda de "velocidade" (aqui, a perda de peso) em blocos de tempo distintos, o total é a soma de cada bloco: taxa × duração de cada fase.
• Perda mensal fixa: na última fase, a perda por mês é constante e desconhecida (chame de x), aplicada por n meses, de modo que x·n é exatamente o quanto ainda falta perder.
• Inequação estrita: a condição "perda inferior a 5 kg" se traduz em x < 5, não x ≤ 5. Isso é decisivo: qualquer valor igual ou maior que 5 kg/mês desrespeita a orientação do nutricionista.
• Menor inteiro que satisfaz uma desigualdade: ao isolar n em uma inequação como n > k, o menor n inteiro válido é o primeiro número inteiro estritamente maior que k — e não o inteiro mais próximo por arredondamento comum.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a perda de quilos mensais seja inferior a 5 kg" → restrição geral válida para todo o regime, inclusive para a fase final de taxa desconhecida.
• Evidência 2: "nos três primeiros meses, uma perda de 4 kg por mês, e nos quatro meses seguintes, uma perda mensal de 3 kg" → define exatamente 7 meses já percorridos, com massa perdida calculável e fixa.
• Evidência 3: "perda mensal fixa em cada um dos meses subsequentes, objetivando alcançar a massa corporal de 71 kg ao final do regime" → a fase final tem taxa constante x, e o produto x·n deve fechar exatamente o restante de massa a perder.
• Síntese: o problema pede a duração TOTAL mínima, ou seja, é preciso somar os 7 meses das duas primeiras fases ao menor n inteiro de meses da fase final que satisfaça x < 5.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Massa total a perder e o que já foi perdido

Massa inicial: 167 kg. Massa-alvo: 71 kg.

Perda total necessária: 167 − 71 = 96 kg.

Nos 3 primeiros meses: 3 × 4 = 12 kg.

Nos 4 meses seguintes: 4 × 3 = 12 kg.

Perda nas duas primeiras fases: 12 + 12 = 24 kg, em 3 + 4 = 7 meses.

Massa que ainda falta perder na fase final: 96 − 24 = 72 kg.

Subpasso 4.2 — Montando a inequação da fase final

Seja n o número de meses da fase final e x a perda mensal fixa nessa fase. Como o objetivo é perder exatamente os 72 kg restantes:

x · n = 72 → x = 72/n

A restrição do nutricionista exige x < 5 (perda mensal sempre inferior a 5 kg), logo:

72/n < 5 → 72 < 5n → n > 72/5 → n > 14,4

Como n representa um número de meses, precisa ser inteiro. O menor inteiro estritamente maior que 14,4 é n = 15.

Subpasso 4.3 — Verificação e duração total

Testando o limite: se n = 14, então x = 72/14 ≈ 5,14 kg/mês — viola a condição x < 5, pois ultrapassa o teto.

Se n = 15, então x = 72/15 = 4,8 kg/mês — respeita x < 5.

Logo, a fase final precisa durar, no mínimo, 15 meses.

Duração mínima total do regime: 7 (fases já cumpridas) + 15 (fase final mínima) = 22 meses.

Esse valor corresponde exatamente à alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 15.

❌ Incorreta: corresponde apenas ao número mínimo de meses da fase final isolada (⌈72/5⌉ = 15), ignorando os 7 meses já percorridos nas duas primeiras fases do regime. Quem escolhe essa alternativa esqueceu de somar a duração total do processo.

B) 20.

❌ Incorreta: surge de um erro comum — aplicar a restrição de 5 kg/mês diretamente sobre a perda TOTAL (96 kg), sem descontar os 24 kg já perdidos nas duas primeiras fases: ⌈96/5⌉ = 20. Esse raciocínio ignora que 7 meses do regime já têm taxas fixas e conhecidas (4 kg/mês e 3 kg/mês), diferentes da fase final.

C) 21.

❌ Incorreta: resulta de um erro de arredondamento na direção errada. Ao resolver n > 14,4, um candidato apressado pode "arredondar para o inteiro mais próximo" e usar n = 14 em vez de n = 15, chegando a 7 + 14 = 21. Mas n = 14 implica perda mensal de 72/14 ≈ 5,14 kg — que fere a exigência de que a perda seja inferior a 5 kg. A inequação estrita obriga arredondar para cima, nunca para baixo.

D) 22.

✅ Correta: soma corretamente os 7 meses das fases iniciais (com 24 kg perdidos) aos 15 meses mínimos da fase final (com perda constante de 4,8 kg/mês, respeitando estritamente x < 5). É o menor número inteiro de meses que satisfaz todas as condições do problema.

E) 25.

❌ Incorreta: aparece quando o candidato assume, por comodidade, uma taxa "redonda" de 4 kg/mês na fase final (ecoando a taxa da primeira fase do regime) em vez de buscar o valor mínimo permitido pela inequação. Com x = 4 kg/mês, seriam necessários 72/4 = 18 meses na fase final, totalizando 7 + 18 = 25 meses — um valor válido, mas que não é o mínimo possível, já que taxas mais próximas de 5 kg (como 4,8 kg/mês) permitem terminar o regime mais rapidamente.

🏆 Gabarito: D — 22 meses é a única duração que soma corretamente os 7 meses de fases conhecidas aos 15 meses mínimos da fase final, respeitando de forma estrita a exigência de perda mensal inferior a 5 kg.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: 22 meses é o único total compatível simultaneamente com os dados fixos das duas primeiras fases (7 meses, 24 kg) e com a menor duração inteira da fase final que mantém a perda mensal estritamente abaixo de 5 kg (15 meses, a 4,8 kg/mês).
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma apresentar problemas "em fases" (taxas diferentes em intervalos de tempo distintos) combinados com uma restrição de desigualdade, testando se o candidato sabe separar dados conhecidos de uma incógnita a ser otimizada.
• Generalização: sempre que um problema pedir a duração "mínima" sob uma restrição do tipo "menor que" um valor-limite, transforme a condição em uma inequação, isole a variável de interesse e arredonde para o próximo inteiro ACIMA do valor encontrado — nunca para o inteiro mais próximo.
• Dica de eliminação rápida: calcule sempre primeiro o que "já foi perdido/feito" nas fases conhecidas antes de aplicar qualquer divisão pelo limite dado; isso elimina de cara alternativas que ignoram fases anteriores (como a A) ou que usam a massa total sem desconto (como a B).
• Conexões: inequações do 1º grau, problemas de otimização com restrição estrita, interpretação de enunciados em contextos de saúde e nutrição.