Questão 158 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Quadrática (parábola: raízes e vértice)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar a equação a partir de duas raízes conhecidas e usar o vértice para calcular o coeficiente "a", combinando geometria da parábola com álgebra.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de trajetória parabólica por meio de função quadrática (competência de resolver problemas envolvendo função polinomial do 2º grau).
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva a equação y(x) da parábola que descreve a trajetória do projétil, sabendo onde ela toca o chão e qual é sua altura máxima."
• Palavras-chave decisivas: trajetória parabólica, altura máxima de 25 metros, pontos (150; 0) e (0; 0)
• Armadilha típica: encontrar corretamente a forma fatorada y = a·x·(x − 150), mas errar o cálculo do coeficiente "a" (trocar sinal ou esquecer de elevar ao quadrado a distância até o vértice) — ou, pior, escolher uma alternativa que tem as raízes certas mas a altura máxima errada, como as opções C e D, que "parecem" plausíveis à primeira vista.
• O que a resposta precisa demonstrar: uma equação que, simultaneamente, se anula em x = 0 e x = 150 e atinge y = 25 exatamente em x = 75 (o ponto médio entre as raízes, onde fica o vértice de toda parábola simétrica).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Raízes de uma função quadrática: são os valores de x para os quais y = 0. Geometricamente, são os pontos em que a parábola cruza o eixo x — aqui, o ponto de lançamento (0; 0) e o ponto de impacto (150; 0).
• Forma fatorada da parábola: conhecendo as duas raízes x₁ e x₂, qualquer parábola que passa por elas pode ser escrita como y = a·(x − x₁)·(x − x₂), com "a" determinado por qualquer outro ponto conhecido da curva.
• Vértice de uma parábola simétrica: como a parábola é simétrica em relação a uma reta vertical, o vértice (ponto de altura máxima, já que o projétil sobe e desce) está exatamente no ponto médio das raízes: x_v = (x₁ + x₂)/2.
• Uso do ponto extremo para achar "a": substituindo as coordenadas do vértice (x_v; y_máx) na forma fatorada, obtém-se uma equação com uma única incógnita, "a", que fecha o modelo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o projétil atinge o solo no ponto (0; 0)" e "o canhão está no ponto (150; 0)" → essas são as duas raízes da função: x = 0 e x = 150. A parábola "nasce" em x = 0 (onde o projétil cai) e também "nasce" em x = 150 (onde está o canhão, na base do disparo).
• Evidência 2: "a altura máxima que atinge em relação ao solo é de 25 metros" → esse é o valor de y no vértice da parábola. Como as raízes são 0 e 150, o vértice ocorre no ponto médio, x = 75, e ali y = 25.
• Síntese: com duas raízes e a altura do vértice, o problema está completamente determinado — basta escrever y = a·x·(x − 150) e usar o ponto (75; 25) para calcular "a", chegando à equação final da trajetória.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a forma fatorada com as raízes conhecidas

As raízes da função são x₁ = 0 e x₂ = 150 (pontos em que o projétil está no chão, y = 0). Logo, a parábola pode ser escrita como:

y = a·(x − 0)·(x − 150) = a·x·(x − 150)

Aqui "a" ainda é desconhecido e precisa ser negativo, pois a parábola tem concavidade voltada para baixo (o projétil sobe e depois desce).

Subpasso 4.2 — Usar o vértice para calcular "a"

Como as raízes são simétricas em relação ao vértice, a abscissa do vértice é:

x_v = (0 + 150) / 2 = 75

No enunciado, a altura máxima (25 m) ocorre justamente nesse ponto, ou seja, o vértice é (75; 25). Substituindo x = 75 e y = 25 na equação:

25 = a · 75 · (75 − 150)

25 = a · 75 · (−75)

25 = −5 625 · a

a = 25 / (−5 625) = −1/225

Subpasso 4.3 — Verificação

Substituindo a = −1/225 de volta na forma fatorada:

y = −(1/225) · x · (x − 150)

y = −(1/225) · (x² − 150x)

y = (150x − x²) / 225

Multiplicando os dois lados por 225 para eliminar o denominador:

225y = 150x − x²

Conferindo com x = 75: 225y = 150·75 − 75² = 11 250 − 5 625 = 5 625 → y = 5 625/225 = 25 m ✓ (bate com a altura máxima informada). Conferindo com x = 0 e x = 150, ambos anulam o lado direito, dando y = 0 ✓ (bate com as raízes). A equação está correta e coincide exatamente com a alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) y = 150x − x²

❌ Incorreta: tem as raízes certas (x = 0 e x = 150, pois y = x(150 − x)), mas falta o fator de escala. No vértice x = 75, essa expressão dá y = 150·75 − 75² = 5 625, um valor absurdo para a altura máxima (deveria ser 25). É a equação sem dividir por 225 — um erro de quem monta a forma fatorada mas esquece de calcular o coeficiente "a".

B) y = 3 750x − 25x²

❌ Incorreta: também mantém as raízes 0 e 150 (fator comum 25x(150 − x) = 0), mas usa um "a" totalmente errado. No vértice, y = 3 750·75 − 25·75² = 140 625, muito distante dos 25 metros exigidos.

C) 75y = 300x − 2x²

❌ Incorreta: as raízes continuam corretas (0 e 150), pois 300x − 2x² = 2x(150 − x). Porém, ao testar x = 75: 75y = 300·75 − 2·75² = 22 500 − 11 250 = 11 250, logo y = 150 m — seis vezes maior que a altura máxima real de 25 m. É uma "quase-armadilha", pois as raízes batem, mas o coeficiente de escala está incorreto.

D) 125y = 450x − 3x²

❌ Incorreta: mesma situação — raízes corretas (450x − 3x² = 3x(150 − x) = 0 em x = 0 e x = 150), mas no vértice x = 75: 125y = 450·75 − 3·75² = 33 750 − 16 875 = 16 875, ou seja, y = 135 m, muito acima dos 25 m estabelecidos no enunciado. Também é uma alternativa "atraente" para quem só verifica as raízes e não confere a altura máxima.

E) 225y = 150x − x²

✅ Correta: satisfaz simultaneamente as duas condições do problema. As raízes: fazendo y = 0, obtém-se 150x − x² = 0 → x(150 − x) = 0 → x = 0 ou x = 150, exatamente os pontos de lançamento e impacto. A altura máxima: em x = 75, 225y = 150·75 − 75² = 5 625 → y = 25 m, batendo com o dado do enunciado. É a única equação consistente com raízes e vértice ao mesmo tempo.

🏆 Gabarito: E — é a única alternativa cujas raízes (x = 0 e x = 150) e cujo vértice (75; 25) coincidem exatamente com os dados físicos do problema: alcance de 150 m e altura máxima de 25 m.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa E é a única em que, ao testar tanto as raízes (x = 0 e x = 150) quanto o vértice (x = 75, y = 25), os dois resultados batem simultaneamente com o enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma explorar situações físicas (lançamento de projéteis, jatos d'água, saltos, pontes) que seguem trajetória parabólica, sempre fornecendo alcance (raízes) e altura máxima (vértice) para que o candidato monte a função quadrática correspondente.
• Generalização: para qualquer parábola com raízes x₁ e x₂ e altura máxima h no vértice, a equação é sempre y = a·(x − x₁)·(x − x₂), com "a" obtido substituindo o ponto do vértice x_v = (x₁+x₂)/2 e y = h na equação.
• Dica de eliminação rápida: primeiro teste apenas as raízes (x = 0 e x = 150) em cada alternativa — isso já elimina equações estruturalmente erradas. Depois, entre as que sobrarem, teste só o ponto do vértice (x = 75) e compare com a altura máxima dada: a única que resultar em y = 25 é a resposta certa, sem precisar resolver tudo por extenso.
• Conexões: funções quadráticas e seus gráficos; movimento de projéteis (Física — lançamento oblíquo); problemas de otimização com vértice de parábola.