Questão 176 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (áreas de retângulos) e Matemática Financeira (lucro = receita − custo)
• ⚡ Nível: Difícil — exige montar três layouts de loteamento diferentes, calcular quantos lotes cabem descontando as ruas e comparar o lucro líquido (não apenas a receita) de cada projeto
• 🎯 Tema/Habilidade: Áreas de figuras planas aplicadas à resolução de problemas de otimização financeira
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual projeto de loteamento gera o maior lucro (receita da venda dos lotes menos o custo de compra do terreno), e qual é o valor desse lucro?"
• Palavras-chave decisivas: maior lucro, venda dos lotes, menos o valor da compra
• Armadilha típica: confundir lucro com receita bruta — escolher o projeto certo, mas marcar o total arrecadado com a venda, esquecendo de subtrair os R$ 700 000,00 pagos pelo terreno
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de calcular quantos lotes cabem em cada projeto (considerando as ruas, que reduzem a área vendável), multiplicar pelo preço de venda, subtrair o custo fixo do terreno e comparar os três resultados

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do retângulo: A = comprimento × largura — ferramenta para achar a área total do terreno e a área de cada lote.
• Encaixe geométrico ao lotear: quando um terreno retangular é dividido em lotes idênticos, o número de lotes é dado por quantas vezes a medida do lote cabe em cada lado do terreno — não basta dividir "área total ÷ área do lote", pois isso ignora que as ruas ocupam espaço sem gerar lote.
• Lucro líquido: Lucro = Receita total de vendas − Custo de aquisição. É diferente de receita bruta (soma das vendas) e diferente do preço de um único lote.
• Área perdida com ruas: toda faixa reservada para rua não vira lote; ela precisa ser descontada da área loteável antes de contar quantos lotes cabem no terreno.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "terreno... 90 m de comprimento e 240 m de largura" → área total = 90 × 240 = 21 600 m², comprada por R$ 700 000,00 — custo fixo, igual nos três projetos.
• Evidência 2: "Projeto 1: lotes de 45 m × 10 m, sem ruas entre os lotes" → 100% da área do terreno vira lote vendável; é o único projeto sem perda de área.
• Evidência 3: "Projeto 2... ruas de 10 m" e "Projeto 3... ruas de 20 m" → parte do terreno é sacrificada para abrir ruas, reduzindo o número de lotes possíveis mesmo com preço de venda maior por unidade.
• Síntese: o problema opõe dois efeitos: preço de venda por lote (maior em P2 e P3) contra quantidade de lotes vendáveis (maior em P1, que não perde área com ruas). É preciso calcular os três lucros líquidos e comparar.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Área total do terreno e custo fixo

Área do terreno = 90 × 240 = 21 600 m². Custo de compra = R$ 700 000,00 — igual nos três projetos, então só entra no final, na subtração.

Subpasso 4.2 — Projeto 1 (lotes 45 m × 10 m, sem ruas)

Observe que 90 ÷ 45 = 2 e 240 ÷ 10 = 24: as dimensões do lote encaixam exatamente nas do terreno, sem sobra nem falta de espaço.

Número de lotes = 2 × 24 = 48 lotes.

Receita = 48 × R$ 23 000,00 = R$ 1 104 000,00.

Lucro₁ = 1 104 000 − 700 000 = R$ 404 000,00.

Subpasso 4.3 — Projeto 2 (lotes 20 m × 30 m, ruas de 10 m)

Encaixando o lado de 30 m ao longo dos 90 m do terreno: 30 + 10 (rua) + 30 = 70 m; o restante fica reservado a ruas, de modo que só cabem 2 faixas de lotes de 30 m nessa direção (uma terceira faixa não cabe junto com a rua obrigatória). Ao longo dos 240 m, o lado de 20 m se repete exatamente 240 ÷ 20 = 12 vezes.

Número de lotes = 2 × 12 = 24 lotes.

Receita = 24 × R$ 35 000,00 = R$ 840 000,00.

Lucro₂ = 840 000 − 700 000 = R$ 140 000,00.

Subpasso 4.4 — Projeto 3 (lotes 35 m × 20 m, ruas de 20 m)

Encaixando o lado de 35 m ao longo dos 90 m: 35 + 20 (rua) + 35 = 90 m — encaixe exato, com uma única rua central. Ao longo dos 240 m, o lado de 20 m cabe 240 ÷ 20 = 12 vezes.

Número de lotes = 2 × 12 = 24 lotes.

Receita = 24 × R$ 45 000,00 = R$ 1 080 000,00.

Lucro₃ = 1 080 000 − 700 000 = R$ 380 000,00.

Subpasso 4.5 — Verificação (comparação final)

Lucro₁ = R$ 404 000,00 | Lucro₂ = R$ 140 000,00 | Lucro₃ = R$ 380 000,00.

O maior valor é o do Projeto 1: R$ 404 000,00 — que bate exatamente com a alternativa B, e ainda "explica" a alternativa C, que é a receita bruta do Projeto 1 sem descontar o custo.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 380 000,00.

❌ Incorreta: é o lucro líquido do Projeto 3 (R$ 1 080 000,00 − R$ 700 000,00). É o segundo melhor resultado, mas não é o maior lucro possível — o Projeto 1 supera esse valor em R$ 24 000,00, pois não perde área com ruas.

B) 404 000,00.

✅ Correta: é o lucro líquido do Projeto 1 (R$ 1 104 000,00 de receita − R$ 700 000,00 de custo do terreno), o maior entre os três projetos, exatamente porque ele não desperdiça nenhum metro quadrado com ruas.

C) 1 104 000,00.

❌ Incorreta: é a receita bruta do Projeto 1 (48 lotes × R$ 23 000,00), sem descontar o custo de R$ 700 000,00 pago pelo terreno. Confunde receita com lucro — a armadilha central da questão.

D) 1 120 000,00.

❌ Incorreta: reflete o tipo de erro de quem subestima a área ocupada pelas ruas do Projeto 2 (descontando apenas uma faixa de rua da área total: 21 600 − 2 400 = 19 200 m² ÷ 600 m² = 32 lotes × R$ 35 000,00) e, além de errar a contagem de lotes, ainda esquece de subtrair o custo do terreno.

E) 1 460 000,00.

❌ Incorreta: não corresponde à receita nem ao lucro de nenhum dos três projetos calculados corretamente; surge de erros combinados de contagem de lotes e/ou de somar indevidamente valores de projetos diferentes, sem seguir o critério pedido (lucro líquido de um único projeto).

🏆 Gabarito: B — o Projeto 1 é o único que aproveita 100% da área do terreno, sem perder espaço com ruas, o que compensa seu menor preço por lote e gera o maior lucro líquido: R$ 404 000,00.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre os três projetos, o lucro líquido máximo é R$ 404 000,00 (Projeto 1), porque a perda de área com ruas nos Projetos 2 e 3 reduz demais o número de lotes vendáveis, mesmo com preço unitário maior.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de problemas de "otimização com comparação de cenários", em que a resposta certa não é a opção com maior preço unitário nem a com maior receita bruta, e sim a que resulta no maior lucro líquido.
• Generalização: em qualquer problema de loteamento ou parcelamento de área, o número de partes é dado por quantas vezes a dimensão da parte cabe em cada lado do terreno, descontando qualquer área não vendável (ruas, calçadas, reservas). Lucro é sempre receita menos custo — nunca compare apenas preços unitários ou apenas receitas.
• Dica de eliminação rápida: identifique primeiro nas alternativas quais valores "batem" com receita bruta (múltiplos exatos de preço de venda × quantidade de lotes, sem desconto de custo) — geralmente são pegadinhas. Depois, calcule os três lucros e escolha o maior, nunca o maior número de lotes ou o maior preço por lote isoladamente.
• Conexões: área de retângulos, ladrilhamento (tiling) de figuras planas, problemas de lucro e margem em matemática financeira.