Questão 161 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → razão e proporção, modelagem algébrica de custo e rendimento
• ⚡ Nível: Médio — exige montar e comparar duas expressões (distância) antes de decidir qual expressão de custo responder, o que evita resolução mecânica
• 🎯 Tema/Habilidade: Interpretação de tabela + construção de expressões algébricas que relacionam volume, rendimento (km/L) e preço (R$/L)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre as duas estratégias de abastecimento, identifique qual percorre a maior distância e escreva a expressão do custo (C) dessa estratégia."
• Palavras-chave decisivas: maior distância, rendimento, duas estratégias
• Armadilha típica: ler "custo" e procurar a alternativa de menor valor numérico, esquecendo que o critério de escolha é a distância, não o preço. Outra armadilha é trocar os rendimentos de A e B na hora das contas.
• O que a resposta precisa demonstrar: calcular a distância total de cada estratégia (volume × rendimento), comparar as duas e só então escrever o custo (volume × preço) da vencedora — sem misturar rendimento com preço na fórmula final.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Rendimento (km/L): quantos quilômetros o carro percorre com 1 litro. Volume abastecido × rendimento = distância percorrida com aquele volume.
• Custo de abastecimento: produto do volume (L) pelo preço do litro daquele combustível — envolve apenas volume × preço, nunca rendimento.
• Distância total de uma estratégia composta: soma das distâncias parciais de cada etapa: d = (volume₁ × rendimento₁) + (volume₂ × rendimento₂).
• Critério de seleção: a pergunta não pede a estratégia mais barata, mas o custo da que rende mais quilômetros — por isso comparar distâncias é etapa obrigatória antes de escrever C.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (tabela): "A → 18 km/L, preço P_A" e "B → 12 km/L, preço P_B" → o combustível A é mais rendoso (18 km/L) que o B (12 km/L), embora os preços P_A e P_B permaneçam genéricos (não numéricos).
• Evidência 2: "1ª estratégia: meio tanque com A e depois um quarto de tanque com B" → usa T/2 litros de A seguidos de T/4 litros de B.
• Evidência 3: "2ª estratégia: meio tanque com B e depois um quarto de tanque com A" → usa T/2 litros de B seguidos de T/4 litros de A.
• Síntese: as duas estratégias usam os mesmos volumes (T/2 e T/4), trocados entre os combustíveis. Como A rende mais que B, colocar o volume maior (T/2) no combustível mais rendoso (A) tende a gerar a maior distância — é essa intuição que o Passo 4 confirma com números.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Distância da 1ª estratégia (T/2 de A + T/4 de B)

Cada trecho de abastecimento gera uma distância igual a volume × rendimento. Somando as duas etapas:

d₁ = (T/2)·18 + (T/4)·12 = 9T + 3T = 12T

Subpasso 4.2 — Distância da 2ª estratégia (T/2 de B + T/4 de A)

d₂ = (T/2)·12 + (T/4)·18 = 6T + 4,5T = 10,5T

Subpasso 4.3 — Comparação e montagem do custo

Como T representa a capacidade do tanque (T > 0), comparamos diretamente os coeficientes:

12T > 10,5T ⟹ a 1ª estratégia percorre mais quilômetros que a 2ª.

Logo, o custo pedido pelo enunciado é o custo da 1ª estratégia — não o da mais barata, mas o da que rende mais distância. Nessa estratégia, gastam-se T/2 litros de A (ao preço P_A por litro) e T/4 litros de B (ao preço P_B por litro):

C = (T/2)·P_A + (T/4)·P_B

Verificação: a expressão usa apenas volume × preço em cada termo, sem misturar rendimento (km/L) com preço (R$) — condição que toda fórmula de custo correta deve satisfazer. Ela coincide exatamente com a alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) C = (T/2)·P_A + (T/4)·P_B

✅ Correta: é exatamente a expressão de custo da 1ª estratégia (T/2 de A + T/4 de B), a que percorre 12T, a maior distância entre as duas opções.

B) C = (T/2)·P_A + 18 + (T/4)·P_B·12

❌ Incorreta: soma a constante "18" solta ao custo (não faz sentido somar reais a um número de km/L) e multiplica P_B por 12, confundindo preço com rendimento. Mistura unidades incompatíveis e não corresponde a nenhuma estratégia real.

C) C = (T/2)·P_A + 15 + (T/4)·P_B·15

❌ Incorreta: introduz o número "15", que não aparece em nenhum dado do enunciado (nem preço, nem rendimento, nem volume) — repete o erro conceitual de B, quebrando a coerência dimensional da fórmula de custo.

D) C = (T/2)·P_B + (T/4)·P_B

❌ Incorreta: usa o preço P_B nos dois termos, como se toda a viagem fosse abastecida só com B. Não corresponde nem à 1ª nem à 2ª estratégia — ambas misturam A e B — e ignora o combustível mais rendoso.

E) C = (T/2)·P_B·12 + (T/4)·P_A·18

❌ Incorreta: reproduz a estrutura de volumes da 2ª estratégia (T/2 de B + T/4 de A), que é justamente a de MENOR distância (10,5T < 12T) — responde à estratégia errada. Além disso, multiplica os preços pelos rendimentos (12 e 18), repetindo o erro de misturar custo com distância.

🏆 Gabarito: A — a 1ª estratégia (T/2 de A + T/4 de B) percorre 12T, distância maior que os 10,5T da 2ª estratégia; o custo correspondente, expresso apenas como volume × preço em cada termo, é C = (T/2)·P_A + (T/4)·P_B.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A é a única alternativa que corresponde à estratégia de maior distância e escreve o custo corretamente, como soma de volume × preço, sem contaminar a fórmula com valores de rendimento.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma cruzar duas grandezas de uma tabela (preço e rendimento) e pedir uma expressão para uma grandeza diferente da que serviu de critério de escolha (o critério é distância, mas a resposta é custo) — um teste de atenção tanto quanto de cálculo.
• Generalização: em problemas com duas grandezas associadas a frações de um total, calcule primeiro a grandeza do critério de decisão (aqui, distância = volume × rendimento) separadamente da grandeza pedida na resposta (custo = volume × preço); nunca misture as duas em uma fórmula.
• Dica de eliminação rápida: descarte alternativas que somem constante numérica solta ao custo ("+18" e "+15", em B e C) e as que multipliquem preço por rendimento (B e E) — elimina três das cinco antes mesmo de calcular as distâncias.
• Conexões: razão e proporção; grandezas diretamente proporcionais; leitura e modelagem algébrica a partir de tabelas.