Questão 146 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções de duas variáveis e modelagem matemática aplicada
• ⚡ Nível: Médio — exige aplicar corretamente uma fórmula com potência de 10 em cinco situações e comparar os resultados com precisão, sem trocar a ordem das operações
• 🎯 Tema/Habilidade: Isolar uma variável em uma fórmula composta (P = C/E) e usar a função para modelar um fenômeno real (estimar população de peixes a partir do esforço de pesca)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Usando as fórmulas dadas e os dados da tabela, calcule a população inicial de peixes P(L) em cada lago e identifique qual delas é a maior."
• Palavras-chave decisivas: esforço de pesca (E), população P(L), maior
• Armadilha típica: parar de calcular assim que aparece um valor "grande" (como o do Lago I, que tem a maior quantidade pescada isoladamente) sem terminar de comparar todos os lagos — o Lago IV supera o Lago I por uma margem pequena, então um arredondamento descuidado pode levar ao erro.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de manipular uma equação com duas fórmulas encadeadas (E depende de B e H; P depende de C e E), aplicar isso a dados tabelados e comparar números em notação científica com rigor.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Modelagem matemática: transformar uma situação real (pescaria) em fórmulas algébricas que permitem calcular grandezas que não são medidas diretamente, como a população de peixes antes da pesca.
• Função de duas variáveis: o esforço de pesca E = 2·10⁻⁷·B·H depende simultaneamente do número de barcos (B) e do número de horas de pesca (H); calcular E exige multiplicar as duas variáveis e depois pela constante.
• Isolamento de variável (álgebra): a partir de C = E·P(L), isola-se P(L) = C/E — um passo essencial, pois a tabela fornece C, B e H, mas não fornece P(L) diretamente.
• Notação científica e potências de 10: como E envolve o fator 10⁻⁷, os valores de E ficam muito pequenos (ordem de 10⁻⁶), e dividir C (números na casa das centenas) por esses valores gera resultados na ordem de 10⁷ — dominar as regras de potência é indispensável para não errar a ordem de grandeza.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "E = 2 ⋅ 10⁻⁷ ⋅ B ⋅ H" → fornece a fórmula do esforço de pesca, que depende do produto entre número de barcos e número de horas de pesca em cada lago.
• Evidência 2: "C = E ⋅ P(L)" → relaciona a captura com o esforço e a população inicial; como o objetivo é achar P(L), essa fórmula precisa ser invertida.
• Evidência 3 (tabela): os cinco lagos trazem valores diferentes de B, H e C — I (5, 5, 250), II (6, 10, 300), III (4, 5, 180), IV (3, 7, 215) e V (3, 10, 220) → cada lago exige um cálculo independente de E e, em seguida, de P(L), não sendo possível comparar diretamente os valores de C, pois o esforço de pesca varia de lago para lago.
• Síntese: o caminho da resolução é: (1) calcular E de cada lago multiplicando B, H e 2·10⁻⁷; (2) calcular P(L) = C/E para cada lago; (3) comparar os cinco resultados e apontar o maior.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Isolar a população na fórmula

Como C = E·P(L), isolando P(L) obtemos:

P(L) = C ÷ E

Essa é a fórmula-chave que será aplicada aos cinco lagos, usando os dados B, H e C da tabela para calcular primeiro E e depois P(L).

Subpasso 4.2 — Calcular E e P(L) lago por lago

Lago I (B = 5, H = 5, C = 250):

E = 2·10⁻⁷ × 5 × 5 = 2·10⁻⁷ × 25 = 50·10⁻⁷ = 5·10⁻⁶

P(I) = 250 ÷ 5·10⁻⁶ = 50·10⁶ = 5,0·10⁷

Lago II (B = 6, H = 10, C = 300):

E = 2·10⁻⁷ × 6 × 10 = 2·10⁻⁷ × 60 = 120·10⁻⁷ = 1,2·10⁻⁵

P(II) = 300 ÷ 1,2·10⁻⁵ = 25·10⁶ = 2,5·10⁷

Lago III (B = 4, H = 5, C = 180):

E = 2·10⁻⁷ × 4 × 5 = 2·10⁻⁷ × 20 = 40·10⁻⁷ = 4·10⁻⁶

P(III) = 180 ÷ 4·10⁻⁶ = 45·10⁶ = 4,5·10⁷

Lago IV (B = 3, H = 7, C = 215):

E = 2·10⁻⁷ × 3 × 7 = 2·10⁻⁷ × 21 = 42·10⁻⁷ = 4,2·10⁻⁶

P(IV) = 215 ÷ 4,2·10⁻⁶ ≈ 51,19·10⁶ ≈ 5,12·10⁷

Lago V (B = 3, H = 10, C = 220):

E = 2·10⁻⁷ × 3 × 10 = 2·10⁻⁷ × 30 = 60·10⁻⁷ = 6·10⁻⁶

P(V) = 220 ÷ 6·10⁻⁶ ≈ 36,67·10⁶ ≈ 3,67·10⁷

Subpasso 4.3 — Verificação e comparação final

Reunindo os cinco resultados em ordem crescente de população estimada:

P(II) = 2,5·10⁷ < P(V) ≈ 3,67·10⁷ < P(III) = 4,5·10⁷ < P(I) = 5,0·10⁷ < P(IV) ≈ 5,12·10⁷

O maior valor é o do Lago IV. Note que a diferença entre o Lago IV (≈5,12·10⁷) e o Lago I (5,0·10⁷) é de apenas cerca de 1,2 milhão de peixes — por isso é fundamental fazer o cálculo completo e não confiar em uma estimativa "de olho": à primeira vista, o Lago I chama atenção por ter o maior C (250 kg) e o Lago IV, um C intermediário (215 kg), mas como o esforço de pesca do Lago IV foi proporcionalmente menor, sua população estimada acaba superando a do Lago I.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I

❌ Incorreta: o Lago I tem P(I) = 5,0·10⁷, um valor alto e que engana quem compara apenas a captura C (a maior da tabela, 250 kg), mas ele não considera que esse lago também teve o maior esforço relativo entre os concorrentes próximos, ficando levemente abaixo do Lago IV.

B) II

❌ Incorreta: apesar de ter a maior captura absoluta em número de barcos e horas (B = 6, H = 10), o esforço de pesca do Lago II também foi o maior de todos (E = 1,2·10⁻⁵), o que faz sua população estimada cair para o menor valor entre os cinco lagos, P(II) = 2,5·10⁷.

C) III

❌ Incorreta: o Lago III teve captura pequena (180 kg) e esforço também baixo (E = 4·10⁻⁶), resultando em P(III) = 4,5·10⁷ — valor intermediário, inferior tanto ao do Lago I quanto ao do Lago IV.

D) IV

✅ Correta: com B = 3, H = 7 e C = 215, o Lago IV apresenta o menor esforço de pesca entre os lagos com captura relevante, o que faz sua população estimada ser a maior de todas, P(IV) ≈ 5,12·10⁷ peixes.

E) V

❌ Incorreta: embora tenha captura próxima à do Lago III (220 kg), o Lago V teve 10 horas de pesca (o dobro do Lago IV), elevando bastante o esforço (E = 6·10⁻⁶) e reduzindo a população estimada para P(V) ≈ 3,67·10⁷, a segunda menor da tabela.

🏆 Gabarito: D — o Lago IV é o único em que a razão entre captura e esforço de pesca (C/E) resulta na maior população estimada, P(IV) ≈ 5,12·10⁷ peixes, superando inclusive o Lago I por uma margem pequena que só se confirma com o cálculo completo.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente o Lago IV combina uma captura razoável com um esforço de pesca proporcionalmente baixo (poucos barcos e poucas horas em relação aos demais), o que eleva sua população estimada acima de todas as outras — por isso a resposta é a alternativa D.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente apresenta uma fórmula "nova" (aqui, E e a relação C = E·P) dentro do próprio enunciado e espera que o estudante saiba isolar a variável pedida e aplicá-la a dados de uma tabela — é um teste de leitura e álgebra básica, não de conhecimento prévio de biologia pesqueira.
• Generalização: sempre que uma grandeza pedida (aqui, P) estiver "escondida" dentro de uma equação que envolve outra grandeza (E) definida por uma segunda fórmula, resolva em duas etapas: primeiro calcule a grandeza intermediária (E) para cada caso, depois isole e calcule a grandeza final (P) — nunca tente pular etapas ou comparar dados brutos da tabela diretamente.
• Dica de eliminação rápida: compare inicialmente as ordens de grandeza de E — quanto menor o esforço para uma captura parecida, maior tende a ser a população estimada; isso já descarta de cara os lagos com maior B×H (como o Lago II), mas cuidado com valores próximos (como Lago I x Lago IV), que exigem o cálculo exato para decidir.
• Conexões: esse tipo de questão se conecta a problemas de proporcionalidade inversa, regra de três composta e interpretação de fórmulas físicas/biológicas aplicadas (como densidade, concentração e taxas), temas recorrentes em Matemática e Ciências da Natureza no ENEM.