Questão 167 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade condicional e Teorema de Bayes
• ⚡ Nível: Médio — os cálculos são simples multiplicações e divisões, mas exige entender que "sabendo que é fumante" inverte o sentido da condicional original
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de probabilidade condicional a posteriori (Bayes) a partir de uma partição da população em subgrupos — competência de tratamento estatístico da informação
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que o funcionário sorteado é fumante, qual é a probabilidade de ele ser mulher?"
• Palavras-chave decisivas: verificou tratar-se de um fumante, probabilidade de ser do sexo feminino, 5% dos homens e de 5% das mulheres
• Armadilha típica: calcular apenas P(mulher e fumante) = 1,5% e marcar essa alternativa (E), ou responder direto com a taxa de tabagismo (5%, alternativa D), confundindo "probabilidade de ser fumante" com "probabilidade de ser mulher dado que é fumante"
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar corretamente uma probabilidade condicional a posteriori, usando a probabilidade total do evento "fumante" como denominador — e não apenas a proporção geral de mulheres nem a interseção isolada

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Probabilidade condicional: P(A|B) é a chance de A ocorrer sabendo que B já aconteceu; o espaço amostral "encolhe" para conter apenas os casos em que B é verdadeiro.
• Partição do espaço amostral: os funcionários se dividem em dois grupos que não se sobrepõem e cobrem 100% do total — homens (70%) e mulheres (30%) — condição essencial para aplicar o teorema da probabilidade total.
• Teorema da probabilidade total: quando o espaço é particionado em grupos, a probabilidade de um evento geral (aqui, "ser fumante") é a soma ponderada das probabilidades desse evento em cada grupo.
• Teorema de Bayes: permite "inverter" a condicional — a partir de P(fumante | sexo) e das proporções de cada sexo, chega-se a P(sexo | fumante), que é exatamente o que a questão pede.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "70% de seus funcionários são do sexo masculino" → define as probabilidades a priori: P(Homem) = 0,70 e, por complemento, P(Mulher) = 0,30.
• Evidência 2: "a porcentagem de empregados fumantes... é de 5% dos homens e de 5% das mulheres" → define as condicionais P(Fumante | Homem) = 0,05 e P(Fumante | Mulher) = 0,05. Repare que a taxa é idêntica nos dois grupos — esse é o detalhe que decide a questão.
• Evidência 3: "verificou tratar-se de um fumante" → o evento "ser fumante" já ocorreu; a pergunta não é mais sobre a população toda, mas sobre o subconjunto de fumantes. Isso caracteriza uma condicional invertida em relação aos dados fornecidos, ou seja, um problema de Bayes.
• Síntese: como a chance de fumar é a mesma para homens e mulheres, saber que a pessoa fuma não altera a informação que temos sobre o sexo dela — a resposta deve, portanto, recair exatamente sobre a proporção original de mulheres na empresa (30%).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular as probabilidades conjuntas

Usando a regra do produto, P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A):

• P(Mulher ∩ Fumante) = P(Mulher) × P(Fumante|Mulher) = 0,30 × 0,05 = 0,015
• P(Homem ∩ Fumante) = P(Homem) × P(Fumante|Homem) = 0,70 × 0,05 = 0,035

Subpasso 4.2 — Calcular a probabilidade total de ser fumante

Como Homem e Mulher formam uma partição completa da empresa, a probabilidade de um funcionário qualquer ser fumante é a soma das duas interseções:

P(Fumante) = P(Mulher ∩ Fumante) + P(Homem ∩ Fumante) = 0,015 + 0,035 = 0,05 (ou seja, 5% — resultado esperado, já que a taxa de 5% é igual nos dois grupos e portanto se mantém no total).

Subpasso 4.3 — Aplicar o Teorema de Bayes e verificar

P(Mulher | Fumante) = P(Mulher ∩ Fumante) ÷ P(Fumante) = 0,015 ÷ 0,05 = 0,30 = 30,0%

Verificação por complementaridade: P(Homem | Fumante) = 0,035 ÷ 0,05 = 0,70 (70%). Somando, 30% + 70% = 100% ✅, confirmando que as probabilidades condicionais foram distribuídas corretamente entre os dois únicos grupos possíveis. O valor 30,0% corresponde exatamente à alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 50,0%

❌ Incorreta: corresponderia a uma empresa com metade dos funcionários de cada sexo, ignorando completamente a proporção real de 70% homens e 30% mulheres informada no enunciado.

B) 30,0%

✅ Correta: é o valor exato de P(Mulher | Fumante) = 0,015/0,05, obtido pelo Teorema de Bayes. Coincide numericamente com a proporção original de mulheres (30%) porque a taxa de tabagismo é igual nos dois grupos — logo, "ser fumante" não altera a informação sobre o sexo do funcionário.

C) 16,7%

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma razão coerente entre os dados do problema (aproximadamente 1/6); surge de montagens equivocadas da fração, como inverter numerador e denominador de forma incorreta ou usar apenas parte dos grupos.

D) 5,0%

❌ Incorreta: é a taxa de tabagismo informada no enunciado (igual para homens e mulheres), ou seja, P(Fumante | Mulher) ou P(Fumante) — não é a grandeza pedida, que é P(Mulher | Fumante).

E) 1,5%

❌ Incorreta: é a probabilidade conjunta P(Mulher ∩ Fumante) = 0,30 × 0,05 = 0,015, obtida ao multiplicar as duas porcentagens sem dividir pela probabilidade total de ser fumante. É o erro clássico de confundir interseção com condicional.

🏆 Gabarito: B — a aplicação do Teorema de Bayes mostra que P(Mulher | Fumante) = 0,015/0,05 = 30,0%, valor que só as demais alternativas contornam por erros de montagem (interseção pura, taxa bruta ou proporções arbitrárias).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: B é a única alternativa consistente com a divisão correta P(Mulher ∩ Fumante) ÷ P(Fumante) = 0,015 ÷ 0,05 = 0,30.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma disfarçar problemas de Bayes em contextos de empresas, doenças/exames diagnósticos ou urnas, sempre pedindo para "inverter" uma condicional já dada — o texto fornece P(evento | grupo) e pergunta por P(grupo | evento).
• Generalização: sempre que a taxa condicional (aqui, a probabilidade de fumar) for igual em todos os subgrupos, a probabilidade condicional invertida — P(grupo | evento) — será exatamente igual à proporção original desse grupo na população total. Esse é um atalho poderoso para resolver a questão quase de cabeça.
• Dica de eliminação rápida: identifique de imediato se a pergunta pede uma interseção (P(A∩B)) ou uma condicional (P(A|B)); isso já elimina a alternativa que reproduz apenas a taxa bruta (D, 5%) e a que reproduz apenas o produto sem dividir (E, 1,5%), restando comparar as demais com a proporção original de mulheres.
• Conexões: Teorema de Bayes em tabelas de contingência 2×2; sensibilidade e especificidade de testes diagnósticos em Biologia, onde o mesmo raciocínio de "inverter a condicional" reaparece com frequência.