Questão 157 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume de paralelepípedo reto-retângulo, volume de "casca"/madeira de uma caixa)
• ⚡ Nível: Médio — a ideia central é simples (volume externo menos volume interno), mas exige perceber que a espessura de 0,5 cm é descontada duas vezes em cada dimensão, pois a madeira está dos dois lados opostos da caixa.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de volumes de sólidos geométricos e de diferenças entre volumes (competência de área V do ENEM — grandezas e medidas / geometria espacial).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quanto de madeira (em cm³) foi usado para construir a caixa, ou seja, qual é o volume da 'casca' de madeira, e não o volume interno onde os chocolates cabem?"
• Palavras-chave decisivas: volume de madeira utilizado, espessura... em todas as suas faces, 0,5 cm
• Armadilha típica: subtrair apenas 0,5 cm de cada dimensão (e não 1 cm), esquecendo que a parede de madeira existe nos dois lados opostos de cada dimensão — uma na frente e outra atrás, uma embaixo e outra em cima, uma à esquerda e outra à direita.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar duas caixas "imaginárias" — a caixa externa (o que se vê de fora) e a caixa interna (o espaço vazio, oco, onde ficam os chocolates) — e calcular a diferença de volumes entre elas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Paralelepípedo reto-retângulo: sólido geométrico cujo volume é dado por V = comprimento × largura × altura. A caixa de madeira, por fora, é um paralelepípedo com dimensões 20 cm × 20 cm × 8 cm.
• Volume de "casca" (madeira, cerâmica, metal etc.): quando um objeto oco tem paredes de espessura constante, o material usado é sempre V_madeira = V_externo − V_interno, isto é, o volume do sólido "cheio" por fora menos o volume do "buraco" vazio por dentro.
• Espessura em ambos os lados: se a parede tem espessura e e existe em duas faces opostas de uma mesma dimensão (por exemplo, frente e fundo), a dimensão interna diminui em 2e — não em e. Esse é o ponto que decide a questão.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "dimensões externas... 20 cm × 20 cm × 8 cm" → essas são as medidas do paralelepípedo visto de fora, ou seja, o volume total ocupado pela caixa, incluindo a madeira e o espaço interno.
• Evidência 2: "espessura da madeira, em todas as suas faces, é de 0,5 cm" → toda face (base, tampa e as quatro laterais) tem 0,5 cm de madeira; como cada dimensão da caixa é limitada por duas faces opostas, cada dimensão interna perde 0,5 cm + 0,5 cm = 1 cm no total.
• Síntese: o caminho é calcular o volume externo (20 × 20 × 8), depois o volume interno usando (20 − 1) × (20 − 1) × (8 − 1), e subtrair um do outro para isolar exatamente o volume ocupado pela madeira.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Volume externo da caixa

A caixa, vista de fora, é um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm (comprimento) × 20 cm (largura) × 8 cm (altura), exatamente como mostrado na figura.

V_externo = 20 × 20 × 8 = 3 200 cm³

Esse é o volume total "ocupado" pela caixa, somando madeira + espaço interno para os chocolates.

Subpasso 4.2 — Volume interno (o oco onde ficam os chocolates)

Aqui está o núcleo da questão. A madeira tem espessura de 0,5 cm em todas as faces. Isso significa:

• No comprimento (20 cm): existe uma parede de madeira de 0,5 cm de um lado e outra de 0,5 cm do lado oposto → desconta-se 0,5 + 0,5 = 1 cm. Interno: 20 − 1 = 19 cm.
• Na largura (20 cm): mesmo raciocínio, duas paredes opostas de 0,5 cm cada → desconta-se 1 cm. Interno: 20 − 1 = 19 cm.
• Na altura (8 cm): há madeira na base e na tampa, cada uma com 0,5 cm → desconta-se 0,5 + 0,5 = 1 cm. Interno: 8 − 1 = 7 cm.

V_interno = 19 × 19 × 7 = 361 × 7 = 2 527 cm³

Subpasso 4.3 — Verificação e volume de madeira

O volume de madeira é exatamente a diferença entre o "bloco cheio" externo e o "vazio" interno:

V_madeira = V_externo − V_interno = 3 200 − 2 527 = 673 cm³

Confrontando com as alternativas, 673 aparece de forma exata na alternativa C, o que confirma a coerência de todo o raciocínio (a ordem de grandeza também faz sentido: a "casca" de 0,5 cm de espessura em uma caixa relativamente grande representa cerca de 21% do volume externo, um valor plausível para paredes desse porte).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 654

❌ Incorreta: esse valor nasce de um deslize no cálculo do volume interno — por exemplo, ao multiplicar 19 × 7, um erro comum é "arredondar para cima" e obter 134 em vez de 133, o que infla o volume interno para 19 × 134 = 2 546 cm³. Como V_madeira = 3 200 − V_interno, inflar o volume interno em 19 cm³ reduz indevidamente o volume de madeira para 3 200 − 2 546 = 654. É uma armadilha aritmética, não geométrica: o método está certo, a conta é que falha.

B) 666

❌ Incorreta: surge de um erro de multiplicação ao calcular 19², obtendo 362 em vez de 361 (um deslize comum de quem multiplica "de cabeça"). Isso leva a um volume interno de 362 × 7 = 2 534 cm³, e a diferença 3 200 − 2 534 = 666 cm³ fica abaixo do valor correto. Mais uma vez, o modelo geométrico (V_ext − V_int) está certo; o erro é puramente de cálculo numérico.

C) 673

✅ Correta: é exatamente o resultado de V_externo − V_interno = (20×20×8) − (19×19×7) = 3 200 − 2 527, aplicando corretamente a redução de 1 cm (0,5 cm de cada lado oposto) em cada uma das três dimensões.

D) 681

❌ Incorreta: valor acima do correto, típico de quem subestima o volume interno — por exemplo, ao errar a subtração final 3 200 − 2 527 (um deslize de "pedir emprestado" na subtração) ou ao calcular incorretamente um dos fatores de 19 × 19 × 7 para um valor menor que 2 527. Qualquer redução indevida do volume interno infla artificialmente o volume de madeira calculado.

E) 693

❌ Incorreta: erro semelhante ao da alternativa D, porém mais acentuado — o volume interno é subestimado em cerca de 20 cm³ (equivalente, por exemplo, a tratar a altura interna como algo entre 6,9 cm e 7 cm em vez de exatamente 7 cm), o que empurra o resultado final ainda mais para cima do valor correto de 673 cm³.

🏆 Gabarito: C — o volume de madeira é a diferença entre o paralelepípedo externo (20×20×8 = 3 200 cm³) e o paralelepípedo interno, cujas três dimensões perdem 1 cm cada (duas espessuras de 0,5 cm por dimensão): 19×19×7 = 2 527 cm³. A diferença 3 200 − 2 527 = 673 cm³ corresponde exatamente à alternativa C.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa C reproduz corretamente a subtração V_externo − V_interno quando a espessura de 0,5 cm é descontada duas vezes (uma de cada lado) em cada uma das três dimensões da caixa.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora esse formato — "volume de material usado para construir um objeto oco" (caixas, tubos, aquários, potes) — porque testa, ao mesmo tempo, visualização espacial e atenção aos detalhes do enunciado, sem exigir fórmulas avançadas.
• Generalização: sempre que um sólido tiver paredes de espessura constante e, a regra é: dimensão interna = dimensão externa − 2e (nunca apenas − e), e o volume do material é sempre V_externo − V_interno.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro V_externo (multiplicação direta e simples: 3 200 cm³). Isso já elimina qualquer alternativa maior que 3 200. Em seguida, desconfie de qualquer alternativa "redonda demais" ou muito distante de 3 200 × 0,2 a 0,25 (a casca costuma representar uma fração menor do volume total) — isso descarta rapidamente respostas fora de ordem de grandeza.
• Conexões: volume de sólidos geométricos; diferença de volumes (problemas de "casca" — tubos, canos, aquários com paredes de vidro); interpretação de figuras com cotas (dimensões indicadas no desenho).