Questão 148 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sistemas de equações lineares e porcentagem (desconto)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar um sistema linear 3×3 a partir de um texto, resolvê-lo por um atalho de soma e, na sequência, aplicar corretamente um desconto percentual sobre uma combinação de produtos diferente das que aparecem nas equações originais.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de sistemas lineares em situações-problema do cotidiano financeiro, com aplicação de porcentagem sobre o resultado final (Competência de Área 5, habilidades ligadas a grandezas e resolução de problemas com equações, da Matriz de Referência do ENEM).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quanto o cliente pagou, à vista, por 2 televisões e 1 sofá, já com os 5% de desconto?"
• Palavras-chave decisivas: duas televisões e um sofá, 5% de desconto, pagamento à vista
• Armadilha típica: confundir a combinação final pedida (2 televisões + 1 sofá) com uma das três combinações originais do enunciado (TV+sofá, sofá+estante ou TV+estante), ou esquecer de aplicar o desconto no valor calculado.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir um texto em um sistema de três equações, resolvê-lo corretamente, montar a nova combinação de compra pedida e só então aplicar a porcentagem de desconto sobre ela.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sistema linear "emparelhado": quando três equações relacionam sempre pares de incógnitas entre si (a+b, b+c, a+c), somar as três de uma vez duplica a soma total das três incógnitas — um atalho muito mais rápido que isolar variável por variável ou escalonar o sistema.
• Isolamento por subtração: uma vez conhecida a soma total (a+b+c), cada incógnita isolada é obtida subtraindo dessa soma a equação que não contém aquela variável.
• Desconto percentual: conceder x% de desconto equivale a multiplicar o valor original pelo fator (1 − x/100). Para 5% de desconto, o fator é 0,95.
• Tradução cuidadosa da linguagem: "duas televisões e um sofá" não é T+S (como nas equações-base), e sim 2T + S — o coeficiente 2 é a pegadinha central da questão.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Na compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria R$ 3.800,00" → T + S = 3800.
• Evidência 2: "Se ele levasse o sofá mais a estante, pagaria R$ 3.400,00" → S + E = 3400.
• Evidência 3: "A televisão mais a estante sairiam por R$ 4.200,00" → T + E = 4200.
• Evidência 4: "duas televisões e um sofá [...] mais 5% de desconto pelo pagamento à vista" → é preciso calcular 2T + S e, só depois, multiplicar o resultado por 0,95.
• Síntese: as três primeiras evidências formam um sistema que permite descobrir o preço individual de cada móvel (T, S e E). A quarta evidência mostra que a compra final não corresponde a nenhuma das três equações dadas — é uma combinação nova, que precisa ser montada a partir dos valores individuais e só então receber o desconto.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montagem do sistema

Sejam T (televisão), S (sofá) e E (estante) os preços de cada produto, em reais:

T + S = 3800 ... (I)

S + E = 3400 ... (II)

T + E = 4200 ... (III)

Subpasso 4.2 — Somando as três equações

Somando (I) + (II) + (III), cada incógnita aparece exatamente duas vezes:

2T + 2S + 2E = 3800 + 3400 + 4200 = 11400

2(T + S + E) = 11400 → T + S + E = 5700

Isolando cada variável (soma total menos a equação que não a contém):

T = 5700 − (S+E) = 5700 − 3400 = 2300

S = 5700 − (T+E) = 5700 − 4200 = 1500

E = 5700 − (T+S) = 5700 − 3800 = 1900

Verificação cruzada com as equações originais: T+S = 2300+1500 = 3800 ✓; S+E = 1500+1900 = 3400 ✓; T+E = 2300+1900 = 4200 ✓. O sistema está consistente e os valores individuais confirmados: televisão R$ 2.300,00, sofá R$ 1.500,00, estante R$ 1.900,00.

Subpasso 4.3 — Montando a compra pedida e aplicando o desconto

Compra: 2 televisões + 1 sofá = 2 × 2300 + 1500 = 4600 + 1500 = 6100 (valor sem desconto).

Desconto de 5% à vista: 6100 × 0,95 = 5795.

Subpasso 4.4 — Verificação final

O valor R$ 5.795,00 corresponde exatamente à alternativa D, e é menor que o valor sem desconto (R$ 6.100,00, alternativa E) na proporção correta de 5%, o que confirma a coerência do cálculo.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 3 610,00.

❌ Incorreta: esse valor vem de aplicar os 5% de desconto diretamente sobre o preço do pacote "televisão + sofá" dado no enunciado (3800 × 0,95 = 3610), ignorando por completo que o cliente comprou duas televisões, e não apenas uma — um erro de leitura que reaproveita um dado da questão fora de contexto.

B) 5 035,00.

❌ Incorreta: surge de inverter as quantidades da compra, calculando "duas sofás e uma televisão" em vez de "duas televisões e um sofá": 2×1500 + 2300 = 5300; aplicando o desconto, 5300 × 0,95 = 5035. É o erro clássico de trocar o produto que deveria ser dobrado.

C) 5 415,00.

❌ Incorreta: usa a soma T + S + E = 5700 (o preço de comprar um exemplar de cada móvel) como se fosse o valor da compra de "2 TVs + 1 sofá", aplicando o desconto sobre esse total errado: 5700 × 0,95 = 5415. Confunde a soma auxiliar do sistema com a compra final pedida.

D) 5 795,00.

✅ Correta: 2 televisões (2 × 2300 = 4600) mais 1 sofá (1500) somam R$ 6.100,00; aplicando os 5% de desconto à vista, 6100 × 0,95 = R$ 5.795,00 — exatamente o procedimento correto, na ordem correta (montar a compra primeiro, descontar depois).

E) 6 100,00.

❌ Incorreta: é o valor correto da compra de 2 televisões + 1 sofá, mas sem aplicar o desconto de 5% concedido pelo pagamento à vista — um erro por omissão da última etapa do enunciado.

🏆 Gabarito: D — R$ 5.795,00 é o único valor compatível simultaneamente com a solução correta do sistema (T = 2300, S = 1500, E = 1900), com o cálculo certo da compra (2T + S = 6100) e com a aplicação do desconto de 5% à vista.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra D é a única alternativa que resulta da sequência correta e completa de operações — resolver o sistema, montar a compra certa (com o coeficiente 2 na televisão) e só então descontar 5%. Qualquer desvio em uma dessas três etapas leva a uma das outras alternativas.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa com frequência contextos de consumo (promoções, combos, parcelamentos) para cobrar sistemas lineares "emparelhados" (a+b, b+c, a+c) combinados com operações de porcentagem — geralmente em uma questão só, testando duas competências ao mesmo tempo.
• Generalização: sempre que um problema apresentar três equações somando pares de incógnitas duas a duas, some as três, divida por 2 para achar a soma total e depois subtraia cada equação original dessa soma para isolar cada incógnita individualmente — é mais rápido que substituição ou escalonamento.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o valor da compra sem desconto (aqui, R$ 6.100,00 — a própria alternativa E). Toda alternativa maior que esse valor pode ser eliminada de imediato; entre as menores, escolha a que corresponde a multiplicar exatamente por 0,95, e não a outra combinação de produtos.
• Conexões: sistemas lineares 3×3 por soma direta, problemas de compra e venda com desconto percentual, e questões de "preço de combos" que aparecem também em contextos de compras online e parcelamento no ENEM.