Questão 160 — ENEM 2018 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Álgebra (produtos notáveis e equações literais)
• ⚡ Nível: Fácil — basta traduzir o enunciado em uma soma de três quadrados de números consecutivos e aplicar dois produtos notáveis.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem algébrica de uma situação-problema (H2/H8 — Matemática e suas Tecnologias): traduzir uma descrição verbal em expressão algébrica e manipulá-la para isolar a incógnita desejada.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva a equação que relaciona o número da página n com a soma k dos quadrados de três páginas consecutivas (a anterior, a própria página e a posterior)."
• Palavras-chave decisivas: soma dos quadrados, três números correspondentes (páginas consecutivas), relaciona n e k
• Armadilha típica: esquecer de elevar cada termo ao quadrado antes de somar (calcular apenas 3n² sem os termos ±2n, que aliás se cancelam) ou errar o sinal ao expandir (n−1)² e (n+1)², produzindo termos lineares que não deveriam sobreviver.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de representar "página anterior" e "página posterior" como n−1 e n+1, elevar cada uma ao quadrado corretamente, somar os três quadrados e isolar 3n² em função de k.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Números consecutivos: se n é a página da senha, a página anterior é n−1 e a posterior é n+1 — a diferença entre páginas vizinhas de um livro é sempre 1 unidade.
• Quadrado da soma e da diferença (produtos notáveis): (a−b)² = a² − 2ab + b² e (a+b)² = a² + 2ab + b². Aqui, com a = n e b = 1, teremos (n−1)² = n² − 2n + 1 e (n+1)² = n² + 2n + 1.
• Equação literal: depois de montar a expressão em função de n, isola-se algebricamente o termo pedido (3n²) somando ou subtraindo constantes dos dois lados da igualdade, sem alterar o valor da equação.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a soma dos quadrados dos três números correspondentes à página da senha, à página anterior e à página posterior é igual a [...] k" → define exatamente a equação (n−1)² + n² + (n+1)² = k, com os três termos sendo páginas consecutivas de um livro.
• Evidência 2: "Denotando por n o número da página da senha" → confirma que n é a variável central e que anterior/posterior devem ser escritas em função de n (n−1 e n+1), não como incógnitas independentes.
• Evidência 3: "qual é a expressão que relaciona n e k?" → o objetivo final não é resolver numericamente para n, mas simplificar a equação até uma forma compacta e reconhecível entre as alternativas, todas escritas com 3n² isolado ou quase isolado.
• Síntese: a questão testa se o estudante consegue (1) montar corretamente a soma de quadrados de três consecutivos e (2) simplificar via produtos notáveis até obter uma relação limpa entre 3n² e k — sem se perder nos sinais dos termos lineares.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a equação a partir do enunciado

Se n é o número da página da senha, então:

• página anterior = n − 1
• página posterior = n + 1

A soma dos quadrados dessas três páginas é igual a k:

(n − 1)² + n² + (n + 1)² = k

Subpasso 4.2 — Expandir os produtos notáveis

Expandindo cada quadrado separadamente:

(n − 1)² = n² − 2n + 1

(n + 1)² = n² + 2n + 1

Substituindo na equação:

(n² − 2n + 1) + n² + (n² + 2n + 1) = k

Agrupando os termos semelhantes:

• Termos em n²: n² + n² + n² = 3n²
• Termos em n: −2n + 2n = 0 (cancelam-se exatamente, pois um vem da página anterior e o outro da posterior)
• Termos constantes: 1 + 1 = 2

Logo:

3n² + 2 = k

Subpasso 4.3 — Isolar 3n² e verificar

Subtraindo 2 dos dois lados da igualdade:

3n² = k − 2

Essa é exatamente a expressão pedida, relacionando n (via 3n²) e k. Fazendo um teste numérico rápido para confirmar: se n = 5 (página 5), então as páginas são 4, 5 e 6, e k = 4² + 5² + 6² = 16 + 25 + 36 = 77. Substituindo na fórmula: 3(5)² = 3(25) = 75, e de fato 75 = 77 − 2. A relação bate perfeitamente. ✅

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 3n² − 4n = k − 2

❌ Incorreta: introduz um termo linear −4n que não existe na expansão correta. Esse erro surge se o estudante somar incorretamente os termos lineares de (n−1)² e (n+1)² como se fossem −2n e −2n (em vez de −2n e +2n), fazendo-os se somar em vez de se cancelar.

B) 3n² + 4n = k − 2

❌ Incorreta: mesmo erro conceitual da alternativa A, mas com o sinal trocado — surge se o estudante inverter o sinal do termo linear de (n−1)² ou (n+1)², somando +2n com +2n em vez de cancelá-los. Em ambos os casos (A e B), o erro é não perceber que os termos lineares das duas expansões são opostos e se anulam.

C) 3n² = k + 2

❌ Incorreta: erro de sinal na etapa de isolar 3n². Ao passar a constante +2 para o outro lado da igualdade (3n² + 2 = k), ela deve ser subtraída de k, não somada — resulta de uma inversão mecânica do sinal ao "passar para o outro lado".

D) 3n² = k − 2

✅ Correta: é exatamente o resultado obtido na expansão de (n−1)² + n² + (n+1)² = k, seguida da simplificação 3n² + 2 = k e do isolamento correto 3n² = k − 2, confirmado numericamente no Subpasso 4.3.

E) 3n² = k

❌ Incorreta: ignora completamente a constante +2 gerada pela soma dos termos independentes (1 + 1) na expansão dos dois produtos notáveis — equivale a esquecer que (n±1)² também produz um termo constante além do termo em n².

🏆 Gabarito: D — a soma (n−1)² + n² + (n+1)² = k se expande para 3n² + 2 = k, e isolando o termo quadrático obtém-se 3n² = k − 2, única expressão coerente com a expansão correta dos produtos notáveis.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra D é a única alternativa que preserva corretamente o cancelamento dos termos lineares (±2n) e o valor certo da constante (+2 → −2 ao isolar), resultado direto e sem ambiguidade da expansão de (n−1)² + n² + (n+1)².
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente disfarça produtos notáveis dentro de contextos do dia a dia (páginas de livro, idades consecutivas, números de casas em uma rua, termos de uma sequência) para testar se o estudante reconhece a estrutura algébrica por trás de uma "história".
• Generalização: para qualquer soma de quadrados de três números consecutivos (n−1, n, n+1), o resultado é sempre 3n² + 2, pois os termos lineares se cancelam mutuamente e sobra apenas o dobro do quadrado da unidade (1² + 1² = 2). Vale a pena memorizar esse padrão como atalho.
• Dica de eliminação rápida: ao ver alternativas com termos em n (como −4n ou +4n) numa soma de quadrados de números consecutivos simétricos em torno de n, desconfie imediatamente — eles tendem a se cancelar. Isso elimina A e B em segundos, restando apenas a discussão do sinal da constante entre C, D e E.
• Conexões: produtos notáveis (quadrado da soma e da diferença), sequências numéricas consecutivas, modelagem algébrica de problemas contextualizados.