Questão 180 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão, Proporção e Regra de Três (grandezas diretamente e inversamente proporcionais, taxas de rendimento)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar corretamente a taxa de trabalho de cada máquina, projetá-la para o prazo dado e, no fim, subtrair as máquinas que o clube já possui (a etapa em que a maioria erra)
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problemas envolvendo grandezas proporcionais e taxas de rendimento (trabalho conjunto), competência de área de Matemática ligada a razões, proporções e regra de três
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas máquinas, além das 2 que o clube já tem, precisam ser pedidas emprestadas ao clube vizinho para que a poda dos 8 000 m² fique pronta em, no máximo, 5 horas?"
• Palavras-chave decisivas: 200 m² por hora (rendimento das 2 máquinas atuais), tempo máximo de 5 h, deverá solicitar (só as máquinas extras, não o total)
• Armadilha típica: calcular corretamente quantas máquinas, no total, são necessárias para cumprir o prazo (16) e marcar esse valor — esquecendo que o clube já possui 2 e que o enunciado pergunta apenas quantas serão pedidas emprestadas.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de (1) extrair o rendimento de uma única máquina a partir do rendimento conjunto, (2) transformar o prazo em uma taxa mínima exigida e (3) converter essa taxa em número de máquinas, isolando corretamente o que falta pedir.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Taxa de rendimento (trabalho por tempo): mede quanto serviço uma máquina (ou grupo de máquinas) realiza por unidade de tempo — aqui, m² de grama podados por hora. Máquinas idênticas, trabalhando juntas, têm suas taxas somadas.
• Grandezas diretamente proporcionais: quanto maior o número de máquinas operando simultaneamente, maior a área podada em uma mesma hora — a taxa total cresce na mesma proporção do número de máquinas.
• Grandezas inversamente proporcionais: para uma área fixa, quanto menor o tempo disponível, maior precisa ser a taxa total de trabalho (e, portanto, maior o número de máquinas) — dobrar a "velocidade" do serviço corta o tempo pela metade, e vice-versa.
• Regra de três: ferramenta que transforma essas relações de proporcionalidade em uma equação simples, permitindo isolar a incógnita (aqui, o número de máquinas).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "as duas máquinas podam juntas 200 m² por hora" → esse é o rendimento conjunto das 2 máquinas próprias, não de uma máquina isolada. Como elas trabalham "no mesmo ritmo", cada uma poda metade disso.
• Evidência 2: "área total de 8 000 m²" e "tempo máximo de 5 h" → toda a operação (2 máquinas do clube + as emprestadas) precisa dar conta dessa área dentro desse prazo, o que define uma taxa mínima de trabalho total.
• Evidência 3: "qual o número mínimo de máquinas que o administrador deverá solicitar ao clube vizinho" → a pergunta é sobre as máquinas adicionais, emprestadas; as 2 que o clube já tem continuam trabalhando e devem ser descontadas do total.
• Síntese: o caminho lógico é rendimento de 1 máquina → taxa total mínima exigida pelo prazo → número total de máquinas necessárias trabalhando juntas → subtrair as 2 já disponíveis para achar quantas serão pedidas emprestadas.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Rendimento de uma única máquina

O enunciado informa que as duas máquinas do clube, trabalhando juntas e no mesmo ritmo, podam 200 m²/h. Como são idênticas e cada uma contribui igualmente:

Rendimento de 1 máquina = 200 m²/h ÷ 2 = 100 m²/h

Subpasso 4.2 — Taxa total exigida e número total de máquinas

Para que a área de 8 000 m² seja concluída em, no máximo, 5 horas, a taxa combinada de todas as máquinas em operação precisa ser de, no mínimo:

Taxa total mínima = Área ÷ Tempo = 8 000 m² ÷ 5 h = 1 600 m²/h

Como cada máquina rende 100 m²/h, o número total de máquinas que precisam trabalhar simultaneamente é:

Nº total de máquinas = 1 600 ÷ 100 = 16 máquinas

Desse total, 2 já pertencem ao clube. Logo, o número de máquinas a solicitar ao clube vizinho é:

16 − 2 = 14 máquinas

Subpasso 4.3 — Verificação (por dois caminhos)

Verificação direta: 16 máquinas × 100 m²/h = 1 600 m²/h; em 5 h, essa frota poda 1 600 × 5 = 8 000 m², exatamente a área do campo — o prazo é cumprido no limite, sem sobra nem falta. Como a questão pede o número mínimo, 14 máquinas emprestadas (mais as 2 próprias) é o valor exato que fecha a conta.

Verificação por proporção inversa: com apenas as 2 máquinas próprias (200 m²/h), o serviço todo levaria 8 000 ÷ 200 = 40 h. Para caber em 5 h, o tempo precisa cair para 5/40 = 1/8 do original — e, como número de máquinas e tempo são inversamente proporcionais (para a mesma área), a frota precisa ser 8 vezes maior: 2 × 8 = 16 máquinas no total. O resultado bate com o cálculo anterior, confirmando que a resposta 14 corresponde à alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 4

❌ Incorreta: esse valor equivale a subestimar drasticamente o quanto a operação precisa acelerar. Corresponde ao raciocínio errado de que, para reduzir o tempo de 40 h (com as 2 máquinas originais) para 5 h, bastaria dobrar a frota (2 × 2 = 4 máquinas no total, ou pensar em 4 extras). Esse erro ignora a proporcionalidade inversa correta: como o tempo cai para 1/8 do original, a frota precisa ser multiplicada por 8, não por 2.

B) 6

❌ Incorreta: surge de tratar os 200 m²/h informados no enunciado como o rendimento de uma única máquina, em vez do rendimento conjunto das duas. Com essa taxa errada, o total de máquinas necessárias cai para 1 600 ÷ 200 = 8; subtraindo as 2 já existentes, chega-se a 6 — um resultado que parece coerente, mas nasce de confundir a unidade do dado fornecido.

C) 8

❌ Incorreta: comete o mesmo erro de base da alternativa B (usar 200 m²/h como rendimento individual, e não conjunto), mas sem descontar as 2 máquinas que o clube já possui. O candidato calcula o "total" já com a taxa errada e o aponta diretamente como a quantidade a solicitar, sem perceber nenhuma das duas falhas.

D) 14

✅ Correta: é o resultado de identificar corretamente o rendimento individual (100 m²/h), calcular a taxa total mínima exigida pelo prazo (1 600 m²/h), obter o número total de máquinas necessárias (16) e subtrair as 2 que o clube já possui, chegando às 14 máquinas que devem ser efetivamente solicitadas ao clube vizinho.

E) 16

❌ Incorreta: é o número total de máquinas necessárias para cumprir o prazo — um cálculo correto até esse ponto —, mas o candidato esquece de descontar as 2 máquinas que o próprio clube já possui. Confunde "quantas máquinas são necessárias ao todo" com "quantas máquinas devem ser pedidas emprestadas", que é exatamente o que o enunciado pergunta.

🏆 Gabarito: D — das 16 máquinas necessárias para cumprir o prazo de 5 horas, 2 já pertencem ao clube; portanto, apenas 14 precisam ser solicitadas ao clube vizinho.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a única alternativa compatível com o rendimento individual correto (100 m²/h), a taxa total exigida pelo prazo (1 600 m²/h) e o desconto das máquinas já disponíveis é a letra D (14).
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência problemas de "trabalho conjunto" (torneiras enchendo tanques, operários construindo muros, máquinas realizando serviços) em que a chave é somar rendimentos individuais e aplicar proporcionalidade direta ou inversa conforme a grandeza envolvida.
• Generalização: sempre que a questão der um rendimento coletivo (de um grupo de agentes idênticos), divida pela quantidade de agentes para achar o rendimento individual antes de qualquer outro cálculo — esse é o passo que mais gera armadilhas.
• Dica de eliminação rápida: releia o comando e sublinhe o verbo-chave: se a pergunta pede o que falta "solicitar", "comprar" ou "contratar" a mais, o total bruto calculado (aqui, 16) quase sempre aparece como distrator isolado — descarte-o mentalmente assim que perceber que ainda não subtraiu o que já existe.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de "vazão de torneiras enchendo uma piscina", "equipes de pintores pintando um muro" e "impressoras imprimindo documentos" — sempre envolvendo soma de taxas e proporcionalidade direta/inversa entre agentes e tempo.