Questão 178 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sistemas Lineares e Geometria Analítica (retas no plano cartesiano)
• ⚡ Nível: Médio — não exige nenhuma conta, mas cobra interpretação fina de um conceito abstrato (o que de fato é "a solução de um sistema")
• 🎯 Tema/Habilidade: Leitura gráfica da solução (ou ausência dela) de um sistema linear formado por três retas concorrentes duas a duas
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "As retas r, s e t do gráfico representam as três equações de um sistema linear. Com base nos pontos assinalados, quantas soluções reais esse sistema possui?"
• Palavras-chave decisivas: pontos de intersecções entre as retas (P, Q, R), pontos de intersecções com o eixo x (A, B, C), soluções reais
• Armadilha típica: confundir "ponto onde duas retas se cruzam" ou "ponto onde uma reta corta o eixo x" com "solução do sistema completo" — são três conceitos diferentes.
• O que a resposta precisa demonstrar: que solução de um sistema de equações é o(s) ponto(s) que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo, e que isso deve ser verificado olhando para as três retas juntas, não aos pares.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sistema linear: conjunto de equações que precisam ser verdadeiras simultaneamente; "resolver" é achar o(s) par(es) (x, y) que cumprem todas elas ao mesmo tempo.
• Reta como equação linear: toda equação do tipo ax + by = c representa uma reta no plano; qualquer ponto dessa reta é solução daquela equação isolada.
• Interseção entre duas retas: o ponto comum a apenas duas retas resolve o subsistema formado por essas duas equações — não necessariamente resolve o sistema com a terceira reta incluída.
• Classificação de sistemas (SPD, SPI, SI): SPD tem exatamente um ponto comum a todas as equações; SPI tem infinitos pontos comuns (retas coincidentes); SI não tem nenhum ponto comum a todas.
• Raiz de uma reta: é o valor de x que zera y naquela reta isolada — não tem relação direta com as outras retas do sistema.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "P, Q e R são os pontos de intersecções entre as retas" → cada um desses pontos resolve apenas o par de retas que se cruza ali (r com s, s com t, ou t com r) — são soluções de subsistemas 2×2, não do sistema com as três equações juntas.
• Evidência 2: "A, B e C são os pontos de intersecções dessas retas com o eixo x" → são as raízes individuais de cada reta (quando y = 0), uma propriedade de cada equação isolada, sem qualquer relação com as outras duas retas.
• Evidência 3 (da figura): as retas r, s e t se cruzam formando um "triângulo": cada par de retas se encontra em um vértice diferente (P, Q e R são três pontos distintos, não um só).
• Síntese: o gráfico mostra três cruzamentos diferentes entre pares de retas, mas em nenhum lugar as três retas passam pelo mesmo ponto ao mesmo tempo — é exatamente essa ausência de ponto triplo comum que decide a questão.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — O que significa "resolver" o sistema das três retas

Cada reta (r, s, t) é uma equação linear com duas incógnitas, x e y. Juntas, elas formam um sistema de 3 equações e 2 incógnitas. Esse sistema só tem solução se existir um par (x, y) que satisfaça r, s e t simultaneamente — geometricamente, um único ponto que pertença às três retas ao mesmo tempo.

Subpasso 4.2 — Traduzindo o gráfico

Observando a figura, as retas se cruzam duas a duas em três pontos diferentes: um cruzamento entre duas das retas gera P, outro par gera Q e o terceiro par gera R. Como P, Q e R não coincidem — eles formam os três vértices de um "triângulo" desenhado pelas próprias retas —, não existe nenhum ponto único que esteja, ao mesmo tempo, sobre r, sobre s e sobre t. Os pontos A, B e C só mostram onde cada reta cruza o eixo x isoladamente, o que reforça que as três retas têm inclinações e posições diferentes, mas não ajuda a achar um ponto comum às três.

Subpasso 4.3 — Verificação

Se o sistema tivesse solução, P, Q e R teriam de ser exatamente o mesmo ponto (as três retas passando juntas por ali). Como a figura mostra três pontos distintos, o sistema formado pelas três equações é impossível (SI): não existe (x, y) que resolva as três retas ao mesmo tempo. Logo, o número de soluções reais do sistema é zero, o que corresponde exatamente ao texto da alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos P, Q e R, pois eles indicam onde as retas se intersectam.

❌ Incorreta: P, Q e R são soluções de subsistemas formados por apenas duas retas de cada vez, não do sistema completo. Um sistema não tem "três soluções" espalhadas em pontos diferentes — ou existe um único ponto comum a todas as equações, ou não existe nenhum.

B) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos A, B e C, pois eles indicam onde as retas intersectam o eixo das abscissas.

❌ Incorreta: A, B e C são as raízes individuais de cada reta isolada (x quando y = 0 naquela reta), sem relação com a interseção simultânea das três equações. Confundir "raiz de uma equação" com "solução de um sistema" é o erro central aqui.

C) possui infinitas soluções reais, pois as retas se intersectam em mais de um ponto.

❌ Incorreta: haveria infinitas soluções só se as retas fossem coincidentes (a mesma reta repetida). Aqui elas são distintas e se cruzam em pontos isolados — cruzar "em mais de um ponto" (entre pares diferentes) não é o mesmo que ter infinitos pontos em comum entre as três.

D) não possui solução real, pois não há ponto que pertença simultaneamente às três retas.

✅ Correta: é o que o gráfico mostra — P, Q e R são três pontos diferentes, cada um do cruzamento de apenas duas retas. Como nenhum ponto está sobre as três ao mesmo tempo, o sistema é impossível (SI).

E) possui uma única solução real, pois as retas possuem pontos em que se intersectam.

❌ Incorreta: existirem pontos de interseção entre pares de retas não garante solução única do sistema completo. Isso exigiria que as três retas se cruzassem exatamente no mesmo ponto — o que a figura não mostra.

🏆 Gabarito: D — a leitura gráfica mostra três retas que se cruzam duas a duas em pontos distintos (P ≠ Q ≠ R), sem nenhum ponto comum às três simultaneamente, caracterizando um sistema linear impossível, sem solução real.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa que aplica corretamente a definição de "solução de um sistema" — ponto comum a todas as equações ao mesmo tempo — à leitura do gráfico, que mostra retas formando um triângulo (sem ponto triplo comum).
• Padrão de cobrança: o ENEM adora testar sistemas lineares de forma gráfica e conceitual, sem pedir nenhuma conta, avaliando se o estudante entende a diferença entre resolver pares de equações e resolver o sistema completo.
• Generalização: diante de retas no plano representando um sistema, pergunte sempre: "existe um ponto que pertence a TODAS as retas ao mesmo tempo?" Se sim e for único → sistema possível e determinado (1 solução); se sim e houver infinitos pontos em comum (retas coincidentes) → sistema possível e indeterminado (infinitas soluções); se não existir nenhum ponto comum às três → sistema impossível (0 soluções).
• Dica de eliminação rápida: qualquer alternativa que trate "pontos de interseção entre pares de retas" (P, Q, R) ou "raízes individuais no eixo x" (A, B, C) como se fossem "a solução do sistema" pode ser descartada de imediato — solução de sistema exige as retas coincidindo todas no mesmo ponto.
• Conexões: classificação de sistemas lineares (SPD, SPI, SI), posição relativa de retas na geometria analítica, resolução de sistemas 3×3 por escalonamento ou regra de Cramer.