Questão 148 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (área de retângulos) e sistemas de inequações
• ⚡ Nível: Difícil — exige montar duas inequações duplas simultâneas, testar cinco opções e ainda comparar áreas entre as que sobrevivem ao filtro
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem geométrica de um problema real com restrições numéricas (moldura mínima e máxima) e otimização por menor área — competência de resolver situações-problema que envolvem grandezas geométricas
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre 5 tampos de vidro retangulares, qual é o de menor área que, ao ser centralizado sobre a base da mesa (105 cm × 120 cm), deixa uma moldura de vidro de no mínimo 4 cm e no máximo 8 cm para fora da base, em todos os lados?"
• Palavras-chave decisivas: mínimo de 4 cm, máximo de 8 cm, menor área possível
• Armadilha típica: escolher o primeiro tampo que "parece caber" (ou o de menor área listado) sem verificar as duas condições simultaneamente nos dois pares de lados, ou esquecer que a moldura existe dos dois lados de cada dimensão (ou seja, a folga total em cada dimensão é o dobro da moldura, não apenas a moldura).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir "moldura de 4 a 8 cm de cada lado" em uma inequação dupla para cada dimensão do retângulo e depois cruzar isso com a exigência de área mínima entre as opções válidas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Retângulo e seus lados: a base da mesa é um retângulo com lados AB = 120 cm e AC = 105 cm; o tampo de vidro também é retangular e deve cobrir essa base com folga uniforme.
• Moldura (folga) simétrica: se o tampo tem lado L e a base tem lado B, e a folga de cada lado é x, então L = B + 2x (a folga aparece nos dois extremos daquela dimensão).
• Inequação dupla: a condição "mínimo 4 cm e máximo 8 cm de moldura" se traduz em 4 ≤ x ≤ 8, o que gera um intervalo permitido para L, não um valor único.
• Otimização com restrição: entre as opções que satisfazem as inequações, a resposta pedida é a que minimiza a área L₁ × L₂, não simplesmente a primeira que "encaixa".

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a base da mesa [...] tem a forma de um retângulo, cujos lados medem AC = 105 cm e AB = 120 cm" → define as duas dimensões fixas do retângulo-base: 105 cm e 120 cm, confirmadas pela figura, em que A e B ficam na borda da frente (120 cm) e A e C na lateral, indo da frente para o fundo (105 cm).
• Evidência 2: "deve sobrar uma região [...] limitada por um mínimo de 4 cm e máximo de 8 cm fora da base, de cada lado" → cada dimensão do tampo deve exceder a dimensão correspondente da base em um valor entre 8 cm e 16 cm no total (4 cm + 4 cm até 8 cm + 8 cm), pois a moldura aparece nos dois lados opostos.
• Evidência 3: "deve-se escolher o tampo de menor área possível que satisfaça a condição" → primeiro filtra-se quais tampos obedecem à inequação dupla nas duas dimensões; depois, entre os aprovados, escolhe-se o de menor área.
• Síntese: o problema é, na verdade, duas etapas encadeadas: (1) um filtro geométrico (sistema de inequações) que elimina tampos incompatíveis e (2) uma comparação de áreas entre os sobreviventes.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar as inequações duplas para cada dimensão

Chamando de x a moldura (folga) de cada lado, temos 4 cm ≤ x ≤ 8 cm.

Para o lado correspondente a AC = 105 cm, o lado do tampo (L₁) deve satisfazer:

L₁ = 105 + 2x, com 4 ≤ x ≤ 8

→ 105 + 2(4) ≤ L₁ ≤ 105 + 2(8)

→ 113 cm ≤ L₁ ≤ 121 cm

Para o lado correspondente a AB = 120 cm, o lado do tampo (L₂) deve satisfazer:

L₂ = 120 + 2x, com 4 ≤ x ≤ 8

→ 120 + 2(4) ≤ L₂ ≤ 120 + 2(8)

→ 128 cm ≤ L₂ ≤ 136 cm

Subpasso 4.2 — Testar os cinco tipos de tampo

Em cada tampo, associamos a menor medida a L₁ (pois deve corresponder ao lado menor da base, 105 cm) e a maior medida a L₂ (correspondente a 120 cm):

| Tipo | L₁ (↔105) | Está em [113, 121]? | L₂ (↔120) | Está em [128, 136]? | Válido? | Área |

|---|---|---|---|---|---|---|

| 1 | 110 | ❌ (110 < 113) | 125 | ❌ (125 < 128) | Não | — |

| 2 | 115 | ✅ | 125 | ❌ (125 < 128) | Não | — |

| 3 | 115 | ✅ | 130 | ✅ | Sim | 115 × 130 = 14.950 cm² |

| 4 | 120 | ✅ | 130 | ✅ | Sim | 120 × 130 = 15.600 cm² |

| 5 | 120 | ✅ | 135 | ✅ | Sim | 120 × 135 = 16.200 cm² |

Note que os Tipos 1 e 2 falham porque o lado de 125 cm (ou 110 cm) gera moldura fora da faixa permitida — no caso do 125, a folga em relação a 120 cm seria (125−120)/2 = 2,5 cm, menor que o mínimo de 4 cm exigido.

Subpasso 4.3 — Verificação: comparar as áreas entre os aprovados

Os Tipos 3, 4 e 5 atendem simultaneamente às duas inequações duplas — todos são geometricamente aceitáveis. Mas o proprietário quer o de menor área:

14.950 cm² (Tipo 3) < 15.600 cm² (Tipo 4) < 16.200 cm² (Tipo 5)

Conferindo as molduras do Tipo 3: (115−105)/2 = 5 cm e (130−120)/2 = 5 cm — ambas dentro de [4 cm, 8 cm]. O Tipo 3 é, portanto, o menor tampo que ainda respeita a moldura mínima de 4 cm e máxima de 8 cm em todos os lados.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1

❌ Incorreta: o Tipo 1 (110 cm × 125 cm) não passa nem no filtro geométrico. A folga em relação ao lado de 105 cm seria (110−105)/2 = 2,5 cm, abaixo do mínimo de 4 cm; e a folga em relação ao lado de 120 cm seria (125−120)/2 = 2,5 cm, também abaixo do mínimo. Esse tampo simplesmente não cobre a base com moldura suficiente.

B) 2

❌ Incorreta: o Tipo 2 (115 cm × 125 cm) resolve corretamente a folga do lado de 105 cm (115−105)/2 = 5 cm, dentro da faixa, mas falha no lado de 120 cm: (125−120)/2 = 2,5 cm, menor que o mínimo de 4 cm exigido. É a armadilha clássica de checar só uma das duas dimensões e concluir precocemente que o tampo serve.

C) 3

✅ Correta: o Tipo 3 (115 cm × 130 cm) satisfaz as duas inequações duplas — molduras de exatamente 5 cm em ambos os lados, dentro do intervalo [4 cm, 8 cm] — e, entre os três tipos aprovados no filtro (3, 4 e 5), é o de menor área (14.950 cm²), atendendo ao critério de comodidade e economia buscado pelo proprietário.

D) 4

❌ Incorreta: o Tipo 4 (120 cm × 130 cm) também é geometricamente válido (molduras de 7,5 cm e 5 cm, ambas dentro da faixa permitida), mas sua área (15.600 cm²) é maior que a do Tipo 3. Como o enunciado pede explicitamente o tampo de menor área entre os que satisfazem a condição, o Tipo 4 é descartado por não ser o mínimo, mesmo sendo tecnicamente aceitável.

E) 5

❌ Incorreta: o Tipo 5 (120 cm × 135 cm) é o maior entre os válidos, com molduras de 7,5 cm nos dois lados (ainda dentro do limite de 8 cm) e área de 16.200 cm² — a maior de todas as opções aprovadas. Atende à restrição geométrica, mas está longe de ser a escolha de menor área.

🏆 Gabarito: C — o Tipo 3 é o único tampo que, ao mesmo tempo, satisfaz a moldura mínima de 4 cm e máxima de 8 cm em ambas as dimensões da base e apresenta a menor área possível entre as opções que passam nesse filtro.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas os Tipos 3, 4 e 5 respeitam simultaneamente as duas inequações duplas de moldura; entre eles, o Tipo 3 tem a menor área (14.950 cm² < 15.600 cm² < 16.200 cm²), tornando a letra C a única resposta compatível com "menor área possível que satisfaça a condição".
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de embutir problemas de otimização geométrica em contextos cotidianos (móveis, embalagens, terrenos), exigindo que o aluno monte inequações a partir de uma descrição verbal de folga, margem ou moldura — sempre atento a se a folga é "de cada lado" (o que dobra o valor na dimensão total).
• Generalização: sempre que o enunciado mencionar uma faixa de folga "mínima e máxima" em torno de um objeto, transforme isso em uma inequação dupla por dimensão (dimensão do objeto + 2×folga) e trate cada dimensão do retângulo separadamente antes de comparar áreas.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a faixa permitida para cada lado da base (aqui, [113, 121] para 105 cm e [128, 136] para 120 cm) e risque de cara qualquer alternativa cuja medida caia fora de um desses intervalos — isso elimina os Tipos 1 e 2 em poucos segundos, restando comparar apenas as áreas de 3, 4 e 5.
• Conexões: este tipo de questão se conecta com problemas de "porcentagem de sobra/erro admissível" e com otimização de área/perímetro sob restrições, temas recorrentes em questões de matemática aplicada do ENEM.