Questão 151 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões Geométricas (crescimento exponencial)
• ⚡ Nível: Fácil — basta reconhecer que "triplicar de um dia para o outro" define uma razão constante e contar corretamente quantas vezes essa razão é aplicada.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de crescimento exponencial com razão constante — competência de traduzir uma situação-problema em uma expressão algébrica equivalente ao termo geral de uma progressão geométrica.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escrever a expressão matemática que representa corretamente o número esperado de visitantes no 4º dia do evento, sabendo que o público triplica a cada dia a partir de 345 visitantes no 1º dia."
• Palavras-chave decisivas: "quatro dias consecutivos", "de um dia para o outro... é triplicado", "primeiro dia"
• Armadilha típica: achar que, se são 4 dias, o fator 3 deve aparecer "4 vezes" na conta — seja multiplicando por 4 (3 × 4 × 345), seja elevando à quarta potência (3⁴ × 345). Isso ignora que o primeiro dia já é o valor de partida (345), e não sofre nenhuma triplicação.
• O que a resposta precisa demonstrar: entendimento de que entre o 1º e o 4º dia existem apenas 3 transições (1→2, 2→3, 3→4), e cada transição multiplica o total por 3 — ou seja, o fator de crescimento total é 3³, não 3⁴ nem 3×4.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Progressão Geométrica (PG): sequência numérica em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um valor fixo, chamado razão (q). Aqui, a "quantidade de visitantes por dia" forma uma PG de razão q = 3.
• Termo geral da PG: a fórmula aₙ = a₁ × q^(n−1) relaciona o primeiro termo (a₁) a qualquer termo posterior (aₙ), sendo n a posição do termo na sequência.
• Diferença entre crescimento exponencial e linear: no crescimento exponencial (multiplicativo), o fator se repete por multiplicação sucessiva (×3, ×3, ×3...); no crescimento linear (aditivo), soma-se sempre a mesma quantidade. A alternativa B é justamente uma tentativa de confundir esses dois modelos.
• Contagem de "intervalos" versus "termos": entre n termos de uma sequência existem sempre (n − 1) intervalos (saltos). É esse detalhe — muito cobrado em situações de datas, degraus, gerações — que decide a questão.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "de um dia para o outro, o número de visitantes... é triplicado" → confirma que a razão da progressão é constante e igual a 3, aplicada exatamente uma vez a cada transição entre dias consecutivos.
• Evidência 2: "É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia" → define o termo inicial da sequência: a₁ = 345 (esse valor não sofre nenhuma multiplicação, pois é o próprio ponto de partida).
• Evidência 3: "quatro dias consecutivos de atrações" + "número esperado de participantes para o último dia" → pede-se a₄, o quarto termo da PG.
• Síntese: juntando as três evidências na fórmula aₙ = a₁ × q^(n−1), com a₁ = 345, q = 3 e n = 4, chega-se a a₄ = 345 × 3^(4−1) = 345 × 3³ — caminho direto para a alternativa C.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Construir a sequência dia a dia

Vamos escrever o número de visitantes esperado em cada um dos quatro dias, aplicando a triplicação apenas nas transições (nunca no dia de partida):

• Dia 1: 345 (valor inicial, zero triplicações)
• Dia 2: 345 × 3 (uma triplicação)
• Dia 3: 345 × 3 × 3 = 345 × 3² (duas triplicações)
• Dia 4: 345 × 3 × 3 × 3 = 345 × 3³ (três triplicações)

Repare no padrão: o expoente de 3 é sempre igual ao número do dia menos 1.

Subpasso 4.2 — Formalizar com o termo geral da PG

Usando aₙ = a₁ × q^(n−1), com a₁ = 345, q = 3 e n = 4 (último dia):

a₄ = 345 × 3^(4−1) = 345 × 3³

Essa expressão é exatamente a estrutura da alternativa C.

Subpasso 4.3 — Verificação numérica

Calculando o valor para conferência: 3³ = 27, logo a₄ = 345 × 27 = 9315 visitantes esperados no último dia. Comparando com as demais alternativas: 3 × 345 = 1035 (equivale ao dia 2, não ao dia 4); (3+3+3) × 345 = 9 × 345 = 3105 (crescimento linear, incompatível com "triplicar"); 3 × 4 × 345 = 12 × 345 = 4140 (mistura fator de crescimento com número de dias); 3⁴ × 345 = 81 × 345 = 27945 (superestima em uma triplicação a mais). Apenas 3³ × 345 = 9315 reflete corretamente as três triplicações sucessivas.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 3 × 345

❌ Incorreta: representa apenas uma única triplicação aplicada sobre o valor inicial, ou seja, corresponde ao número esperado de visitantes no segundo dia, não no quarto. Ignora que ainda faltam duas triplicações para chegar ao último dia.

B) (3 + 3 + 3) × 345

❌ Incorreta: troca a multiplicação sucessiva por uma soma dos fatores de crescimento, tratando o problema como se o crescimento fosse linear (aditivo) em vez de exponencial (multiplicativo). Resulta em 9 × 345, quando o correto é 27 × 345 — um erro conceitual sobre a própria natureza do fenômeno "triplicar".

C) 3³ × 345

✅ Correta: expressa exatamente as três multiplicações sucessivas por 3 necessárias para ir do 1º ao 4º dia, conforme demonstrado nos Subpassos 4.1 e 4.2 — a₄ = a₁ × q^(n−1) com n − 1 = 3.

D) 3 × 4 × 345

❌ Incorreta: multiplica o fator de crescimento (3) pelo número total de dias (4), um erro clássico de confundir "quantos dias existem" com "quantas vezes a triplicação ocorre". Além disso, essa expressão sequer representa um crescimento exponencial — é apenas uma multiplicação linear dos dois números.

E) 3⁴ × 345

❌ Incorreta: usa expoente 4 em vez de 3, como se o primeiro dia também sofresse uma triplicação. Esse é o erro mais sedutor da questão, pois "parece" natural usar o número de dias (4) como expoente — mas o primeiro dia é o ponto de partida, não o resultado de uma multiplicação.

🏆 Gabarito: C — a expressão 3³ × 345 é a única que traduz corretamente as três transições (triplicações) que ocorrem entre o primeiro e o quarto dia do evento.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa consistente com a fórmula do termo geral de uma PG, aₙ = a₁ × q^(n−1), aplicada com a₁ = 345, q = 3 e n = 4, resultando em expoente 3 (e não 4).
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra progressões geométricas com frequência em contextos de crescimento populacional, propagação de vírus/boatos, juros compostos e, como aqui, público de eventos — sempre pedindo para identificar a razão e "contar" corretamente quantas vezes ela é aplicada.
• Generalização: em qualquer sequência que cresce por um fator constante a cada etapa, o número de multiplicações entre o 1º e o n-ésimo termo é sempre (n − 1), nunca n. Esse é o detalhe que separa quem "decorou a fórmula" de quem realmente entende o fenômeno.
• Dica de eliminação rápida: desenhe mentalmente a linha do tempo com "elos" entre os dias (dia1—dia2—dia3—dia4): há 4 dias, mas apenas 3 elos/triplicações. Isso elimina imediatamente as alternativas que usam o número 4 como expoente ou como multiplicador direto (D e E), e a que soma em vez de multiplicar (B).
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de dobras de papel (crescimento exponencial por dobra), reprodução celular por bipartição e cálculo de montante em juros compostos — em todos, o expoente é sempre o número de "intervalos", não o número de "pontos".