Questão 150 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (perímetro do retângulo) + Modelagem Algébrica de situações-problema
• ⚡ Nível: Médio — exige interpretar corretamente a figura (qual lado é paralelo ao rio) e montar uma expressão algébrica com dois preços distintos, sem exigir cálculo numérico complexo
• 🎯 Tema/Habilidade: Tradução de uma situação real (cercamento de terreno com custos diferentes por lado) em equação algébrica — competência de modelagem matemática (H25/H26 da matriz do ENEM)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Monte a equação que representa o custo total da cerca, sabendo que os lados paralelos ao rio custam R$ 4,00/m e os demais lados custam R$ 2,00/m."
• Palavras-chave decisivas: lados paralelos ao rio, R$ 4,00 por metro, R$ 2,00 por metro
• Armadilha típica: esquecer que um retângulo tem dois lados de medida x e dois lados de medida y — não apenas um de cada — e também confundir qual dimensão (x ou y) é a que corre paralela ao rio.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir uma descrição geométrica com preços diferenciados por lado em uma única expressão algébrica coerente com a figura.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Perímetro de um retângulo: um retângulo de lados x e y tem exatamente quatro lados — dois de medida x (opostos e paralelos entre si) e dois de medida y (opostos e paralelos entre si). O perímetro total é P = 2x + 2y.
• Custo unitário por trecho: quando lados diferentes do mesmo polígono têm preços diferentes por metro, o custo total não é "preço × perímetro", mas sim a soma de "preço × comprimento" calculada separadamente para cada grupo de lados.
• Leitura de figura geométrica: em problemas de geometria aplicada, a figura define qual variável (x ou y) corresponde a qual direção física (aqui, paralela ou perpendicular ao rio) — errar essa leitura inverte toda a equação.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (da figura): a seta horizontal no topo do retângulo mede x, e a seta vertical à direita mede y; a base do retângulo encosta diretamente nas ondulações que representam o rio → o lado inferior (horizontal, de medida x) é o lado às margens do rio, e por simetria o lado superior (também de medida x) é paralelo a ele.
• Evidência 2: "o material da cerca custa R$ 4,00 por metro para os lados do terreno paralelos ao rio, e R$ 2,00 por metro para os demais lados" → os dois lados horizontais (medida x, paralelos ao rio) custam R$ 4,00/m cada; os dois lados verticais (medida y, perpendiculares ao rio) custam R$ 2,00/m cada.
• Síntese: como há dois lados de comprimento x ao preço de R$ 4,00/m e dois lados de comprimento y ao preço de R$ 2,00/m, o custo total é a soma desses quatro trechos, que deve ser igualada a R$ 7 500,00.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar os lados paralelos ao rio e seus preços

Pela figura, os dois lados de medida x (o de cima e o de baixo, este último encostado no rio) são os "lados paralelos ao rio". Cada um desses dois lados custa R$ 4,00 por metro. Logo, o custo desses dois lados juntos é:

Custo(lados paralelos) = 4 · x + 4 · x = 4 · (2x) = 8x

Subpasso 4.2 — Identificar os demais lados e seus preços

Os dois lados de medida y (esquerdo e direito) são os "demais lados", cada um custando R$ 2,00 por metro. O custo desses dois lados juntos é:

Custo(demais lados) = 2 · y + 2 · y = 2 · (2y) = 4y

Subpasso 4.3 — Montar a equação do custo total e verificar

O custo total da cerca é a soma das duas parcelas, igualada ao valor gasto:

Custo total = 8x + 4y = 7 500

Fatorando o 4 em evidência (para bater com o formato das alternativas):

8x + 4y = 4·(2x) + 4·y = 4(2x + y) = 7 500

Verificação por coerência dimensional e de sinal: o termo com maior coeficiente (2x, multiplicado por 4) deve corresponder ao par de lados mais caro (R$ 4,00/m, que são os dois lados x); o termo y aparece com coeficiente 1 dentro do parênteses porque, ao multiplicar por 4, o "y" isolado representa, na verdade, R$ 4,00 aplicado a "y", mas o correto é ter apenas o fator comum 4 evidenciado — conferindo termo a termo: 4(2x+y) = 8x + 4y, que é exatamente 4x (preço) × 2 (dois lados) + 2y (preço) × 2 (dois lados). A equação bate perfeitamente com a alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 4(2x + y) = 7 500

✅ Correta: equivale a 8x + 4y = 7 500, exatamente o custo dos dois lados x (paralelos ao rio, R$ 4,00/m cada, total 8x) somado ao custo dos dois lados y (demais lados, R$ 2,00/m cada, total 4y). É a única expressão fiel à figura e aos preços descritos.

B) 4(x + 2y) = 7 500

❌ Incorreta: equivale a 4x + 8y = 7 500. Essa equação inverte os papéis de x e y — trata y (e não x) como a dimensão paralela ao rio, como se o lado mais caro (R$ 4,00/m) fosse o vertical. É o erro de quem lê a figura de forma invertida, atribuindo o preço maior à dimensão errada.

C) 2(x + y) = 7 500

❌ Incorreta: equivale a 2x + 2y = 7 500, ou seja, considera apenas UM lado de medida x e UM lado de medida y (como se o terreno tivesse só dois lados a cercar), e ainda ignora completamente a diferença de preço entre os lados paralelos e perpendiculares ao rio. Esse erro soma-se: esquece a duplicidade de cada dimensão de um retângulo e descarta a informação dos dois preços distintos.

D) 2(4x + y) = 7 500

❌ Incorreta: equivale a 8x + 2y = 7 500. O termo 8x está certo (dois lados x a R$ 4,00/m), mas o termo 2y considera apenas UM dos dois lados y ao preço de R$ 2,00/m, como se o outro lado perpendicular ao rio não precisasse ser cercado. É o erro de esquecer que também os lados y aparecem em dobro no retângulo.

E) 2(2x + y) = 7 500

❌ Incorreta: equivale a 4x + 2y = 7 500 — exatamente a metade da equação correta (4x + 2y = ½·(8x + 4y)). Esse erro mantém a proporção certa entre os preços (o coeficiente de x é o dobro do de y, respeitando R$4,00 vs. R$2,00), mas esquece de multiplicar por 2 o fato de que CADA dimensão aparece duas vezes no retângulo — como se o terreno tivesse apenas um lado x e um lado y a cercar, e não dois de cada.

🏆 Gabarito: A — a única equação que soma corretamente 4,00×(dois lados x) + 2,00×(dois lados y), respeitando tanto a leitura da figura (x paralelo ao rio) quanto a duplicidade de cada dimensão no perímetro do retângulo.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa A preserva as três exigências simultâneas do problema: (1) x é a dimensão paralela ao rio, (2) cada dimensão do retângulo aparece duas vezes no perímetro, e (3) os preços de R$ 4,00/m e R$ 2,00/m foram aplicados aos lados certos.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente problemas de "geometria com custo diferenciado por lado" (cercas, muros, pintura de paredes com portas/janelas descontadas, etc.), sempre testando se o estudante sabe decompor o perímetro em grupos de lados com tratamento distinto antes de somar.
• Generalização: sempre que um polígono tiver preços ou condições diferentes por grupo de lados, calcule separadamente "preço × quantidade de lados daquele tipo × medida" para cada grupo, e só depois some tudo — nunca aplique um único preço ao perímetro inteiro.
• Dica de eliminação rápida: primeiro identifique, pela figura, qual variável é paralela à referência dada (aqui, o rio) — isso já elimina a alternativa com x e y trocados (B). Depois expanda mentalmente cada alternativa e compare os coeficientes com "4× dois lados" e "2× dois lados": qualquer expressão que não gere 8x + 4y está incompleta ou com erro de duplicação (C, D, E).
• Conexões: problemas de área e perímetro com restrições (ex.: cercar um terreno usando um muro já existente como um dos lados) e problemas de otimização de custo com função de duas variáveis, comuns em questões de Função de 1º grau aplicada à Geometria.