Questão 163 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (poliedros e Relação de Euler)
• ⚡ Nível: Difícil — exige modelar mentalmente uma operação de corte (truncamento de vértices) em um sólido e recontar com precisão faces, arestas e vértices, sem "fórmula pronta" para aplicar direto.
• 🎯 Tema/Habilidade: Poliedros convexos, elementos de um sólido (V, A, F) e a Relação de Euler; raciocínio espacial aplicado a um contexto real (lapidação de pedra preciosa).
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Depois de cortar as quatro quinas da base da pirâmide (retirando quatro pequenas pirâmides nos vértices P, Q, R e S), quantas faces, arestas e vértices terá o sólido resultante?"
• Palavras-chave decisivas: quatro cortes, cantos da base, pequenas pirâmides nos vértices P, Q, R e S
• Armadilha típica: achar que as arestas "cortadas" simplesmente desaparecem, ou esquecer que cada corte cria uma nova face (e novas arestas e vértices) além de encurtar as arestas antigas — e não eliminá-las.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de recontar sistematicamente V, A e F do sólido truncado e confirmar a consistência do resultado usando a Relação de Euler.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Pirâmide de base quadrangular: sólido com 5 vértices (4 vértices da base + 1 ápice), 8 arestas (4 da base + 4 laterais, que ligam cada vértice da base ao ápice) e 5 faces (1 base quadrilátera + 4 faces triangulares laterais).
• Truncamento de vértice (corte de canto): operação geométrica em que um plano "corta" um vértice, substituindo-o por uma nova face poligonal. O número de lados dessa nova face é igual ao número de arestas que concorriam naquele vértice (o "grau" do vértice).
• Relação de Euler: para todo poliedro convexo, vale V − A + F = 2. É a ferramenta perfeita para conferir se uma contagem de vértices, arestas e faces é geometricamente possível.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cujo formato é o de uma pirâmide" → o sólido de partida tem uma base poligonal e um ápice; pela Figura 2, a base é um quadrilátero com vértices P, Q, R e S.
• Evidência 2: "quatro cortes ... nos cantos da base. Os cantos retirados correspondem a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q, R e S" → cada corte remove uma pequena pirâmide cujo ápice é exatamente um dos 4 vértices da base — ou seja, cortam-se os 4 vértices da base, e o ápice original da pedra permanece intocado.
• Síntese: o problema se resolve modelando o efeito de um único corte num vértice onde concorrem 3 arestas (2 da base + 1 lateral) e depois multiplicando esse efeito por 4, já que os quatro vértices da base sofrem cortes idênticos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Caracterizando o sólido original

A pedra bruta é uma pirâmide de base quadrangular:

• Vértices: V₀ = 5 (P, Q, R, S na base + o ápice)
• Arestas: A₀ = 8 (PQ, QR, RS, SP na base, mais as 4 arestas laterais até o ápice)
• Faces: F₀ = 5 (1 base + 4 triângulos laterais)

Confirmando com Euler: 5 − 8 + 5 = 2 ✓ (o sólido de partida é válido).

Subpasso 4.2 — O que acontece em CADA corte

Em cada vértice da base (por exemplo, P) concorrem exatamente 3 arestas: duas da base (PQ e PS) e uma lateral (até o ápice). Um corte reto nesse canto "fatia" essas 3 arestas perto do vértice e produz:

• Vértices: o vértice P desaparece (−1), mas surgem 3 novos vértices, um em cada aresta cortada (+3) → variação líquida +2 vértices por corte.
• Faces: surge exatamente 1 nova face — o pequeno triângulo que "tampa" o corte, unindo os 3 novos vértices → +1 face por corte.
• Arestas: essa nova face triangular tem 3 lados, logo aparecem 3 novas arestas por corte. As 3 arestas antigas que passavam por P não somem: elas apenas ficam mais curtas e continuam sendo, cada uma, 1 aresta só (afinal cada uma delas é cortada em apenas uma das pontas — a outra ponta, Q, S ou o ápice, permanece intacta nesse corte).

Subpasso 4.3 — Multiplicando pelos 4 cortes (P, Q, R, S)

Como os quatro vértices da base sofrem o mesmo tipo de corte, e nenhum deles compartilha a mesma "nova face":

• ΔV = 4 × (+2) = +8 → V = 5 + 8 = 13
• ΔA = 4 × (+3) = +12 → A = 8 + 12 = 20
• ΔF = 4 × (+1) = +4 → F = 5 + 4 = 9

Subpasso 4.3.1 — Conferindo com a Relação de Euler

V − A + F = 13 − 20 + 9 = 2 ✓

O resultado fecha perfeitamente a Relação de Euler, o que confirma que a contagem está correta: o sólido resultante tem 9 faces, 20 arestas e 13 vértices.

Subpasso 4.4 — Verificação contra as alternativas

A sequência (faces, arestas, vértices) = (9, 20, 13) corresponde exatamente à alternativa A) 9, 20 e 13.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 9, 20 e 13.

✅ Correta: é exatamente o resultado da contagem — 9 faces (5 originais, com formas alteradas, + 4 novas triangulares), 20 arestas (8 originais encurtadas + 12 novas) e 13 vértices (1 ápice original + 12 novos, três por corte). Confere: 13 − 20 + 9 = 2.

B) 9, 24 e 13.

❌ Incorreta: acerta faces (9) e vértices (13), mas superestima as arestas. É o erro clássico de quem imagina 4 novas arestas por corte (como se a "tampa" do corte fosse um quadrilátero), em vez de perceber que em cada vértice da base concorrem apenas 3 arestas — logo o corte gera uma face triangular (3 lados), não quadrangular. Além disso, 13 − 24 + 9 = −2 ≠ 2: a relação de Euler já denuncia a inconsistência.

C) 7, 15 e 12.

❌ Incorreta: subestima todos os valores, como ocorreria se o resolvedor considerasse apenas parte dos cortes (por exemplo, tratasse os cortes como se compartilhassem vértices/arestas entre si, ou aplicasse a variação de apenas alguns vértices em vez dos 4). A inconsistência fica evidente: 12 − 15 + 7 = 4 ≠ 2.

D) 10, 16 e 5.

❌ Incorreta: os números ficam próximos aos do sólido original (V₀=5, A₀=8, F₀=5) distorcidos e embaralhados, sugerindo confusão entre elementos do sólido antes e depois do corte, sem de fato aplicar a operação de truncamento a cada um dos 4 vértices. Também não satisfaz Euler: 5 − 16 + 10 = −1 ≠ 2.

E) 11, 16 e 5.

❌ Incorreta: mistura contagens parciais dos cortes (talvez aplicando a variação a apenas 2 vértices, ou somando incorretamente vértices novos e antigos) sem completar a análise para os 4 cantos da base. Falha na checagem: 5 − 16 + 11 = 0 ≠ 2.

🏆 Gabarito: A — Cada um dos 4 cortes nos vértices da base acrescenta 2 vértices, 3 arestas e 1 face ao sólido original (V₀=5, A₀=8, F₀=5); somando as variações chega-se a V=13, A=20, F=9, resultado que fecha a Relação de Euler (13 − 20 + 9 = 2) e corresponde exatamente à alternativa "9, 20 e 13".

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa A é a única cujos valores nascem de uma contagem geometricamente coerente do truncamento dos 4 vértices da base e, simultaneamente, satisfazem V − A + F = 2 — as demais alternativas falham nesse teste de consistência.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de embutir a Relação de Euler em contextos aplicados (lapidação de pedras, cortes em embalagens, construção de sólidos a partir de outros) em vez de pedir a fórmula "pelada"; a dificuldade está em traduzir a situação física (um corte de canto) para a variação de V, A e F.
• Generalização: sempre que um vértice de grau n (onde concorrem n arestas) é truncado, o efeito local é sempre o mesmo: vértices +(n−1), arestas +n e faces +1. Basta identificar o grau do vértice cortado e multiplicar pelo número de cortes idênticos.
• Dica de eliminação rápida: antes de refazer toda a contagem, teste V − A + F = 2 em cada alternativa — nesta questão, isso elimina sozinho B, C, D e E, deixando apenas A.
• Conexões: essa mesma lógica de truncamento de vértices aparece na construção de sólidos arquimedianos (como o icosaedro truncado, a "bola de futebol") e em problemas de volume de pirâmides truncadas (troncos de pirâmide) — vale revisar ambos os temas juntos.