Questão 159 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Analítica (equação da reta) e Sistemas de Inequações do 1º grau
• ⚡ Nível: Médio — a álgebra é simples, mas a questão só se resolve se o candidato ler corretamente as coordenadas dos vértices no gráfico e souber decidir, para cada lado do quadrilátero, se a desigualdade correta é "≤" ou "≥"
• 🎯 Tema/Habilidade: Tradução de uma região do plano cartesiano em um sistema de inequações lineares (competência de área de Matemática e suas Tecnologias — geometria analítica aplicada a situações-problema)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual conjunto de quatro inequações, quando desenhado em um software gráfico, reproduz exatamente o quadrilátero cinza da figura?"
• Palavras-chave decisivas: desigualdades algébricas, desenhar essa região, quadrilátero (área S)
• Armadilha típica: trocar os limites dos eixos (usar x ≤ 9 quando o correto é x ≤ 8, ou y ≤ 8 quando o correto é y ≤ 9) e inverter o sentido de uma desigualdade (≤ por ≥), colocando a região do lado errado da reta.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair a equação de cada lado do quadrilátero a partir de dois pontos do gráfico e de testar um ponto interno para decidir a direção correta de cada desigualdade.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Equação de reta que passa pela origem: toda reta que passa por (0,0) tem a forma y = kx, sendo k = Δy/Δx o coeficiente angular obtido a partir de outro ponto conhecido da reta.
• Reta como fronteira de semiplano: uma reta ax + by = c divide o plano em dois semiplanos (ax + by ≤ c e ax + by ≥ c). Para saber qual desigualdade "aponta" para a região sombreada, basta substituir um ponto certamente interno à região na expressão e verificar o sinal resultante.
• Sistema de inequações como interseção: a região que satisfaz simultaneamente todas as inequações do sistema é a interseção de todos os semiplanos — geometricamente, é exatamente o polígono fechado que aparece sombreado no gráfico.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: o eixo y traz as marcações "9" e "3", e o eixo x traz "0", "4" e "8" → esses números não são decorativos: são exatamente as coordenadas onde os lados do quadrilátero tocam os eixos ou as linhas tracejadas de referência do gráfico.
• Evidência 2: a figura mostra duas retas saindo da origem — uma bem inclinada, que sobe até a altura y = 9 quando x = 4, e outra bem mais deitada, que só chega a y = 3 quando x = 8 — e o quadrilátero se fecha com um segmento horizontal no topo (y = 9) e um segmento vertical à direita (x = 8).
• Síntese: juntando as duas evidências, o quadrilátero tem vértices O(0, 0), A(4, 9), B(8, 9) e C(8, 3). A tarefa se reduz a escrever a equação dos quatro lados (OA, AB, BC e CO) e converter cada uma na desigualdade que "olha" para dentro da região cinza.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Localizar os vértices do quadrilátero no gráfico

A partir das marcações dos eixos e do formato da figura (duas retas partindo da origem, fechadas por um teto horizontal e uma parede vertical), os quatro vértices são:

O(0, 0) — origem, ponto de partida das duas retas inclinadas;

A(4, 9) — onde a reta mais inclinada encontra a altura y = 9;

B(8, 9) — canto superior direito, interseção do teto y = 9 com a parede x = 8;

C(8, 3) — onde a reta menos inclinada encontra a parede x = 8.

Subpasso 4.2 — Equação da reta OA (lado inclinado de cima)

Coeficiente angular: k = (9 − 0)/(4 − 0) = 9/4.

Equação: y = (9/4)x. Multiplicando por 4 para eliminar a fração: 4y = 9x, ou seja 4y − 9x = 0.

Teste de sentido: o ponto C(8, 3), certamente interno à região, dá 4(3) − 9(8) = 12 − 72 = −60 < 0.

Logo, a desigualdade correta para esse lado é 4y − 9x ≤ 0.

Subpasso 4.3 — Equação da reta OC (lado inclinado de baixo)

Coeficiente angular: k = (3 − 0)/(8 − 0) = 3/8.

Equação: y = (3/8)x. Multiplicando por 8: 8y = 3x, ou seja 8y − 3x = 0.

Teste de sentido: o ponto A(4, 9), interno à região, dá 8(9) − 3(4) = 72 − 12 = 60 > 0.

Logo, a desigualdade correta para esse lado é 8y − 3x ≥ 0.

Subpasso 4.4 — Os dois lados retos (teto e parede)

O lado AB é o segmento horizontal na altura y = 9 (de x = 4 até x = 8): como toda a região fica sob esse teto, a condição é y ≤ 9.

O lado BC é o segmento vertical em x = 8 (de y = 3 até y = 9): como toda a região fica à esquerda dessa parede, a condição é x ≤ 8.

Subpasso 4.5 — Verificação (sistema completo e checagem com ponto interno)

Reunindo as quatro condições:

4y − 9x ≤ 0

8y − 3x ≥ 0

y ≤ 9

x ≤ 8

Testando um ponto claramente interno ao quadrilátero, como (5, 5): 4(5) − 9(5) = −25 ≤ 0 ✓; 8(5) − 3(5) = 25 ≥ 0 ✓; 5 ≤ 9 ✓; 5 ≤ 8 ✓. O sistema descreve fielmente a região cinza — e esse conjunto de quatro desigualdades é idêntico ao apresentado na alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 3y − x ≤ 0; 2y − x ≥ 0; y ≤ 8; x ≤ 9

❌ Incorreta: usa retas com coeficientes angulares 1/3 e 1/2 (y ≤ x/3 e y ≥ x/2), que não correspondem às inclinações reais das retas do gráfico (9/4 e 3/8, obtidas dos vértices A(4,9) e C(8,3)); além disso, inverte os limites dos eixos, colocando y ≤ 8 e x ≤ 9 quando na verdade é o eixo y que vai até 9 e o eixo x que vai até 8.

B) 3y − x ≤ 0; 2y − x ≥ 0; y ≤ 9; x ≤ 8

❌ Incorreta: corrige os limites dos eixos (y ≤ 9 e x ≤ 8 estão certos), mas mantém o erro de origem das retas — os coeficientes angulares 1/3 e 1/2 não representam as retas OA e OC do quadrilátero, que na verdade têm inclinações 9/4 e 3/8.

C) 3y − x ≥ 0; 2y − x ≤ 0; y ≤ 9; x ≤ 8

❌ Incorreta: inverte o sentido das duas primeiras desigualdades em relação à alternativa B, mas continua usando as retas erradas (coeficientes 1/3 e 1/2 em vez de 9/4 e 3/8); mesmo com os limites y ≤ 9 e x ≤ 8 corretos, as retas escolhidas simplesmente não são as que contêm os lados inclinados do quadrilátero da figura.

D) 4y − 9x ≤ 0; 8y − 3x ≥ 0; y ≤ 8; x ≤ 9

❌ Incorreta: é a alternativa mais próxima da correta, pois acerta as duas retas inclinadas (coeficientes 9/4 e 3/8, exatamente os do Subpasso 4.2 e 4.3), mas troca os limites de corte — usa y ≤ 8 e x ≤ 9 quando o gráfico mostra claramente que o teto está em y = 9 (não 8) e a parede em x = 8 (não 9). Essa troca desloca o retângulo de recorte e deforma o quadrilátero.

E) 4y − 9x ≤ 0; 8y − 3x ≥ 0; y ≤ 9; x ≤ 8

✅ Correta: reúne as duas retas corretas que contêm os lados inclinados do quadrilátero — obtidas diretamente dos vértices A(4, 9) e C(8, 3) lidos no gráfico — com os limites corretos y ≤ 9 e x ≤ 8, que fecham exatamente o teto e a parede da região cinza mostrada na figura.

🏆 Gabarito: E — é o único sistema que combina as retas com as inclinações corretas (9/4 e 3/8, calculadas a partir dos vértices reais do quadrilátero) com os limites corretos dos eixos (y ≤ 9 e x ≤ 8), reproduzindo fielmente a região cinza da figura.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa E junta, ao mesmo tempo, as duas retas certas (4y − 9x ≤ 0 e 8y − 3x ≥ 0) e os dois limites certos (y ≤ 9 e x ≤ 8); qualquer outra combinação altera a inclinação de uma reta ou desloca um dos lados retos do quadrilátero.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente pede para "traduzir" uma região sombreada do plano cartesiano em um sistema de inequações — o desafio nunca está na álgebra em si, mas em ler com precisão as coordenadas dos vértices na figura.
• Generalização: para qualquer região poligonal, escreva a equação de cada lado (usando dois pontos conhecidos), depois teste um ponto certamente interno à região em cada equação para decidir se a desigualdade correta é "≤" ou "≥".
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente os dois coeficientes angulares a partir dos vértices do gráfico (aqui, 9/4 e 3/8) — isso já elimina de cara as alternativas A, B e C, que usam frações completamente diferentes (1/3 e 1/2). Depois, basta conferir se os limites y ≤ 9 e x ≤ 8 batem com as marcações dos eixos para descartar a "quase certa" alternativa D.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de programação linear (região de soluções viáveis) e em problemas de otimização que pedem a área de um polígono definido por um sistema de inequações.