Questão 145 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem aplicado à coloração de um grafo)
• ⚡ Nível: Médio — a fórmula do Princípio Multiplicativo é simples, mas a contagem exige separar casos, pois a última cor escolhida depende do que aconteceu nas escolhas anteriores.
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de possibilidades sob restrições locais (coloração própria de vértices) — mobiliza a competência de resolver situações-problema por meio do raciocínio combinatório.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "De quantas formas é possível pintar os 4 círculos do desenho com 3 cores, sem que dois círculos ligados por um segmento fiquem com a mesma cor?"
• Palavras-chave decisivas: três lápis de cores diferentes, ligados por um segmento, cores diferentes
• Armadilha típica: achar que a restrição vale para todos os pares de círculos (conta bem menor) ou, ao contrário, multiplicar 3×3×3×3 = 81 como se cada círculo fosse totalmente livre, ignorando a dependência entre as escolhas.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio do Princípio Fundamental da Contagem em etapas encadeadas, reconhecendo quando abrir casos porque o número de opções de uma etapa muda conforme o resultado da anterior.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio Fundamental da Contagem (PFC): se uma tarefa é feita em etapas sucessivas, o total de maneiras de realizá-la é o produto do número de opções de cada etapa, desde que bem definidas em cada momento.
• Grafo e "coloração própria": círculos = vértices, segmentos = arestas; pintar corretamente significa que toda aresta liga vértices de cores diferentes. Vértices não ligados por segmento podem repetir cor.
• Contagem com dependência (abertura de casos): quando o número de opções de uma etapa varia conforme o resultado de uma etapa anterior, o total não é um produto único — é preciso dividir em casos, contar cada um e somar.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "três lápis de cores diferentes" → existem exatamente 3 cores disponíveis (não é preciso usar as três, nem impedir repetição entre círculos não vizinhos).
• Evidência 2: "aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores diferentes" → a restrição é local: só vale para pares unidos por um traço.
• Evidência 3 (da figura): 4 círculos em forma de quadrado — A e B em cima, C e D embaixo — unidos pelos quatro lados: A–B, B–D, D–C e C–A, fechando um ciclo. Não há segmento nas diagonais (A–D e B–C não são vizinhos).
• Síntese: o problema equivale a contar as colorações próprias de um ciclo de 4 vértices com 3 cores, colorindo em sequência ao longo do ciclo e cuidando do momento em que ele "se fecha" — o último círculo é vizinho de dois outros ao mesmo tempo.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizando a ordem de pintura

Para aplicar o PFC sem perder nenhuma restrição, pinta-se os círculos seguindo o contorno do ciclo: primeiro A, depois B (vizinho de A), depois D (vizinho de B) e por último C — que fecha o desenho sendo vizinho tanto de D quanto de A. Essa ordem garante que, ao chegar em cada círculo, já sabemos exatamente quais restrições ele carrega.

Subpasso 4.2 — Contando em cascata (com abertura de caso no fechamento)

• Cor de A: primeiro círculo, totalmente livre → 3 opções.
• Cor de B: vizinho de A, só precisa diferir de A → 2 opções.
• Cor de D: vizinho de B, só precisa diferir de B (não há segmento D–A) → 2 opções.
• Cor de C: ponto-chave da questão. C é vizinho simultaneamente de D e de A, então precisa diferir dos dois — e o número de opções depende de como D e A se relacionam. Por isso é preciso abrir caso dentro das 2 opções de D:

- Caso i — D repete a cor de A (1 das 2 opções de D): C só precisa evitar uma cor → 2 opções.

- Caso ii — D usa a "terceira cor", diferente de A (a outra opção de D): C precisa evitar duas cores distintas → sobra apenas 1 opção.

Subpasso 4.3 — Somando os casos e verificando

Juntando D e C: caso i contribui 1 × 2 = 2 combinações; caso ii contribui 1 × 1 = 1 combinação. Total de combinações (D, C) = 2 + 1 = 3.

Total geral pelo PFC: (cor de A) × (cor de B) × (combinações de D e C) = 3 × 2 × 3 = 18

Verificação por fórmula geral: o número de colorações próprias de um ciclo com n vértices e k cores é N = (k − 1)ⁿ + (−1)ⁿ(k − 1). Para n = 4 e k = 3: N = 2⁴ + 2 = 16 + 2 = 18 — os dois caminhos batem, confirmando a alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 6

❌ Incorreta: é o resultado de 3! = 3 × 2 × 1, como se a tarefa fosse "distribuir as 3 cores em 3 posições" (típico de quem imagina um triângulo, com todos os vértices mutuamente vizinhos). O desenho tem 4 círculos, e os não ligados por segmento podem repetir cor — esse raciocínio ignora o quarto vértice e a possibilidade de repetição.

B) 12

❌ Incorreta: surge de 3 × 2 × 2 × 1, quando se assume que o último círculo (C) sempre fica "encurralado" com uma única opção. Na prática isso só ocorre no Caso ii (1 das 2 situações de D); no Caso i, C ainda tem 2 opções. Usar sempre o "pior cenário" na última etapa subestima o total real.

C) 18

✅ Correta: é exatamente o valor obtido na resolução — 3 (cor de A) × 2 (cor de B) × 3 (combinações válidas de D e C, somando os dois casos) = 18, confirmado também pela fórmula do ciclo C₄ com 3 cores.

D) 24

❌ Incorreta: é o que se obteria se o desenho fosse um caminho aberto de 4 vértices (sem fechar o ciclo), em que cada novo círculo tem sempre exatamente 2 opções: 3 × 2 × 2 × 2 = 24. O desenho, porém, fecha o ciclo (C também é vizinho de A), o que reduz as possibilidades em parte dos casos — daí a diferença entre 24 e 18.

E) 72

❌ Incorreta: aproxima-se do que se chega ao calcular todas as pinturas sem restrição alguma (3⁴ = 81) e descontar de forma incompleta apenas um par de vizinhos repetidos (81 − 3² = 72), sem aplicar a restrição às quatro arestas do ciclo simultaneamente. Superestima o total ao tratar as proibições de forma parcial, em vez de considerar a interação entre todas as arestas do desenho.

🏆 Gabarito: C — o desenho forma um ciclo fechado de 4 círculos (quadrado), e a contagem cuidadosa pelo Princípio Fundamental da Contagem, com abertura de caso no vértice que fecha o ciclo, resulta em exatamente 18 maneiras de pintá-lo com 3 cores.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: 18 é o único valor que respeita, ao mesmo tempo, as quatro restrições do desenho (A≠B, B≠D, D≠C, C≠A) sem impor restrições que não existem (A≠D ou B≠C) nem ignorar o fechamento do ciclo em C.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma disfarçar "coloração de grafos" em desenhos de círculos e segmentos, mapas ou regiões vizinhas — sempre é Princípio Fundamental da Contagem com uma etapa "problemática" (geralmente a última) cujo número de opções varia, exigindo separação em casos.
• Generalização: sempre que um vértice for vizinho de mais de um vértice já pintado, verifique se essas cores já fixadas coincidem entre si antes de multiplicar — é exatamente aí que a contagem "de cabeça" costuma errar.
• Dica de eliminação rápida: compare com os limites: 3⁴ = 81 (sem restrição nenhuma) e 3! = 6 (triângulo, todos vizinhos entre si). O valor correto de um grafo com restrições parciais fica sempre estritamente entre esses dois polos, o que já descarta A e E de cara.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em contagem de senhas/placas com restrição entre posições vizinhas e em problemas de coloração de mapas — ambos exigem checar se as etapas são realmente independentes antes de multiplicar.