Questão 137 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (espaço amostral com reposição, eventos complementares)
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade não está na fórmula, e sim em montar corretamente o espaço amostral reconhecendo que as duas cédulas de R$ 50,00 são objetos distintos
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de probabilidade em experimentos aleatórios com reposição, usando o evento complementar (competência 7 da matriz do ENEM — probabilidade e estatística)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sorteando duas cédulas com reposição, qual a probabilidade de a soma dos valores anotados ser maior ou igual a R$ 55,00?"
• Palavras-chave decisivas: devolve-se a cédula, modelos diferentes, pelo menos igual
• Armadilha típica: enxergar a caixa como se tivesse apenas 3 "tipos" de cédula (R$5, R$20, R$50), ignorando que as duas notas de R$ 50,00 são físicas e distintas ("modelos diferentes") — isso reduz o espaço amostral de 4 para 3 elementos e derruba toda a conta.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar um espaço amostral equiprovável com reposição (4 × 4 = 16 pares ordenados) e de tratar corretamente um evento do tipo "pelo menos" via complementar.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Experimento com reposição: como a cédula volta para a caixa antes do segundo sorteio, as duas extrações são independentes e cada uma tem exatamente as mesmas 4 opções equiprováveis.
• Espaço amostral de eventos compostos: em duas extrações com reposição, o total de resultados possíveis é n² (aqui, 4² = 16 pares ordenados), pois cada extração multiplica as possibilidades da anterior.
• Evento complementar: quando o evento pedido ("soma ≥ 55") tem muitos casos favoráveis, é mais rápido calcular a probabilidade do evento oposto ("soma < 55") e fazer 1 menos esse valor.
• Equiprobabilidade dos objetos, não dos valores: cada cédula tem probabilidade 1/4 de ser sorteada, mas o valor "R$ 50,00" tem probabilidade 2/4, pois duas cédulas diferentes carregam esse mesmo valor.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "uma cédula de R$ 5,00, uma de R$ 20,00 e duas de R$ 50,00 de modelos diferentes" → a caixa contém 4 objetos fisicamente distintos, não 3 valores distintos; isso define o tamanho correto do espaço amostral em cada extração.
• Evidência 2: "anota-se o seu valor e devolve-se a cédula à caixa. Em seguida, repete-se o procedimento" → a reposição garante independência entre as extrações, cada uma repetindo o mesmo espaço amostral de 4 elementos.
• Evidência 3: "pelo menos igual a R$ 55,00" → evento de desigualdade (≥), o que sugere usar o complementar (somas menores que 55, mais fáceis de contar) em vez de listar diretamente todos os casos favoráveis.
• Síntese: o problema pede P(soma ≥ 55) num espaço amostral de 16 pares ordenados igualmente prováveis; o caminho mais eficiente é contar as poucas combinações de soma menor que 55 e subtrair de 1.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar o espaço amostral

Nomeie as 4 cédulas da caixa: c₁ = R$ 5,00, c₂ = R$ 20,00, c₃ = R$ 50,00 (modelo I), c₄ = R$ 50,00 (modelo II). Em cada extração, qualquer uma delas tem probabilidade 1/4 de ser retirada. Como a cédula é devolvida antes do segundo sorteio, as duas extrações são independentes, e o espaço amostral do experimento completo (par ordenado: 1ª cédula, 2ª cédula) tem 4 × 4 = 16 resultados igualmente prováveis, cada um com probabilidade 1/16.

Subpasso 4.2 — Contar pelo evento complementar

As somas possíveis de dois valores sorteados são: 5+5=10, 5+20=25, 5+50=55, 20+20=40, 20+50=70 e 50+50=100. O evento complementar de "soma ≥ 55" é "soma < 55", que só ocorre nas somas 10, 25 e 40:

• Soma = 10: apenas o par (c₁, c₁) → 1 resultado.
• Soma = 25: os pares (c₁, c₂) e (c₂, c₁) → 2 resultados.
• Soma = 40: apenas o par (c₂, c₂) → 1 resultado.

Total de resultados com soma < 55: 1 + 2 + 1 = 4, em 16 possíveis. Logo, P(soma < 55) = 4/16 = 1/4.

Subpasso 4.3 — Verificação

Pelo complementar: P(soma ≥ 55) = 1 − 1/4 = 3/4.

Confirmando por contagem direta dos casos favoráveis (lembrando que c₃ e c₄ são cédulas distintas de R$ 50,00): soma 55 vem de (c₁,c₃), (c₁,c₄), (c₃,c₁), (c₄,c₁) — 4 pares; soma 70 vem de (c₂,c₃), (c₂,c₄), (c₃,c₂), (c₄,c₂) — 4 pares; soma 100 vem de (c₃,c₃), (c₃,c₄), (c₄,c₃), (c₄,c₄) — 4 pares. Total: 4 + 4 + 4 = 12 resultados favoráveis em 16, ou seja, 12/16 = 3/4. Os dois caminhos batem exatamente em 3/4, o que confirma o resultado e aponta diretamente para a alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/4

❌ Incorreta: é o valor da probabilidade do evento complementar — "soma menor que R$ 55,00" — não do evento pedido. Quem marca essa alternativa calculou certo o complementar (4/16) mas esqueceu de fazer "1 menos esse valor".

B) 3/8

❌ Incorreta: equivale a 6/16, valor que surge quando o candidato não trata as duas cédulas de R$ 50,00 como objetos distintos ou ignora a ordem das extrações — por exemplo, contando o par "5 e 50" uma única vez em vez de reconhecer (c₁,c₃), (c₁,c₄), (c₃,c₁) e (c₄,c₁) como quatro resultados diferentes.

C) 3/4

✅ Correta: valor obtido tanto pela contagem direta dos 12 pares ordenados favoráveis em 16 possíveis quanto pelo cálculo do complementar (1 − 1/4). Reflete o tratamento correto do espaço amostral com reposição e da distinção entre as duas cédulas de R$ 50,00.

D) 7/8

❌ Incorreta: equivale a 14/16, o que ocorreria se o estudante esquecesse um dos quatro casos do complementar — por exemplo, contando só 2/16 (um único par de soma 25) em vez dos dois pares (c₁,c₂) e (c₂,c₁) — superestimando a probabilidade pedida.

E) 15/16

❌ Incorreta: corresponde a considerar como desfavorável apenas a soma mínima, (c₁,c₁) = 10, ignorando os pares de soma 25 e 40, que também são menores que R$ 55,00. Isso reduz artificialmente o complementar a 1/16 e infla o resultado quase ao máximo.

🏆 Gabarito: C — a probabilidade de que a soma dos valores anotados seja pelo menos R$ 55,00 é 3/4, resultado confirmado tanto pela contagem direta dos 12 pares favoráveis em 16 quanto pelo cálculo via evento complementar.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa C é compatível com os dois métodos de resolução (contagem direta e complementar), ambos convergindo para 3/4 — nenhuma outra fração aparece nos dois caminhos ao mesmo tempo.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência probabilidade em experimentos com reposição associados a "pelo menos" ou "no máximo", justamente para testar se o candidato usa o evento complementar.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "devolve-se" ou "com reposição", as extrações são independentes e o espaço amostral de duas extrações tem tamanho n² (n = elementos da caixa); e sempre que aparecer "pelo menos" ou "no máximo", compare o tamanho do evento pedido com o do complementar antes de contar.
• Dica de eliminação rápida: quando os objetos sorteados incluem itens de mesmo valor mas "diferentes" entre si (como as duas notas de R$ 50,00), confira se o enunciado pede para tratá-los como distintos — isso dobra o espaço amostral esperado e já elimina alternativas como B.
• Conexões: este tema se conecta com contagem via princípio multiplicativo (Análise Combinatória) e com probabilidade em ensaios independentes, base da distribuição binomial.