Questão 136 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (soma dos ângulos internos, triângulo isósceles e congruência de triângulos)
• ⚡ Nível: Médio — os conceitos usados são básicos, mas a questão exige comparar cuidadosamente cinco figuras cheias de ângulos marcados, sem deixar nenhuma "armadilha visual" passar
• 🎯 Tema/Habilidade: Propriedades e classificação de triângulos (isósceles, retângulo, congruência) aplicadas à leitura de uma figura geométrica composta — competência de Espaço e Forma
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre 5 mosaicos, cada um feito de 3 peças triangulares, encontrar o único em que 2 peças são triângulos retângulos congruentes e a 3ª é um triângulo isósceles, formando ao final um triângulo retângulo maior."
• Palavras-chave decisivas: retângulo (a forma final do mosaico), congruentes (as duas peças "gêmeas"), isósceles (a peça restante)
• Armadilha típica: achar que duas peças são congruentes só porque têm os mesmos três ângulos (30°-60°-90°, por exemplo). Isso garante apenas que elas têm a mesma forma (são semelhantes) — não garante o mesmo tamanho. Várias alternativas exploram exatamente essa confusão.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o mosaico escolhido cumpre, ao mesmo tempo, três exigências independentes: (1) o contorno externo fecha um ângulo de 90°; (2) as duas peças retangulares têm o mesmo lado desempenhando o mesmo papel (hipotenusa com hipotenusa, cateto com cateto); (3) a peça restante tem dois ângulos internos iguais.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Soma dos ângulos internos de um triângulo: em qualquer triângulo, os três ângulos internos somam sempre 180°. Isso vale tanto para as peças pequenas quanto para o mosaico inteiro.
• Ângulo raso (vértices onde peças se apoiam): quando duas ou mais peças se encontram sobre um mesmo lado reto do mosaico, os ângulos que elas formam ali, somados, também dão 180° — é assim que se descobre se um canto externo do mosaico é de 90°.
• Triângulo isósceles: basta ter dois ângulos internos iguais para garantir que os dois lados opostos a eles também são iguais — ou seja, dois ângulos repetidos já classificam a peça como isósceles, sem precisar medir lado nenhum.
• Congruência de triângulos: dois triângulos são congruentes quando têm os três ângulos e os três lados correspondentes iguais. Ter os mesmos ângulos garante apenas semelhança. Um mesmo segmento não pode ser, ao mesmo tempo, a hipotenusa de um triângulo retângulo e um cateto de outro do mesmo tamanho — pois em qualquer triângulo retângulo a hipotenuse é sempre maior que qualquer cateto.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "duas delas triângulos retângulos congruentes" → apenas as duas primeiras peças precisam ser retângulas e idênticas; a terceira não precisa ter ângulo de 90°.
• Evidência 2: "mosaico com o formato de um triângulo retângulo" → a figura final, resultante da junção das três peças, precisa ter ela mesma um ângulo reto em um de seus três vértices externos.
• Evidência 3: "a terceira um triângulo isósceles" → a peça que sobra deve ter dois ângulos (e dois lados) iguais entre si.
• Síntese: o caminho é eliminar, primeiro, qualquer mosaico cujo contorno não feche 90° em nenhum vértice; depois, entre os sobreviventes, checar se o lado interno compartilhado pelas duas peças retangulares tem o mesmo papel (hipotenusa-hipotenusa ou cateto-cateto) nas duas; por fim, confirmar que a peça restante tem dois ângulos repetidos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Filtrar os mosaicos cujo contorno não é um triângulo retângulo

Somando os ângulos de cada vértice externo do mosaico (quando mais de uma peça se apoia nele):

• Mosaico 1: vértices externos 30°+30° = 60°, mais 30° e 90° → soma 60+30+90 = 180°. Há um vértice de 90°. ✅ passa.
• Mosaico 2: vértice superior reúne 30°+30°+30° = 90°; os outros dois vértices são 60° e 30° → 90+60+30 = 180°. Há um vértice de 90°. ✅ passa.
• Mosaico 3: vértices 22°+22° = 44°, mais 46° e 90° → 44+46+90 = 180°. Há um vértice de 90°. ✅ passa.
• Mosaico 4: vértices 80°, 50°+25° = 75°, e 25° → 80+75+25 = 180°, mas nenhum desses três vértices vale 90°. ❌ o triângulo maior não é retângulo — eliminado de imediato.
• Mosaico 5: de forma análoga, os três vértices externos (30°, 30° e a soma no vértice de encontro das peças) também não produzem um ângulo de 90° em canto nenhum. ❌ eliminado de imediato.

Restam apenas os Mosaicos 1, 2 e 3 para o teste decisivo.

Subpasso 4.2 — Testar a congruência das duas peças retangulares e o isoscelismo da terceira

Mosaico 1: as duas peças brancas menores têm, cada uma, ângulos 30°-60°-90° — mesma forma. Só que elas compartilham um lado interno: nessa aresta comum, o ângulo oposto em uma peça é 90° (logo ali esse lado é a hipotenusa dessa peça) e o ângulo oposto na outra peça é 60° (logo ali esse mesmo lado é apenas o cateto maior dessa outra peça). Como a hipotenusa de um triângulo 30°-60°-90° é sempre maior que seu cateto maior, um único segmento de comprimento fixo não pode ser as duas coisas em triângulos do mesmo tamanho — ou seja, essas duas peças são semelhantes, mas não congruentes (uma é maior que a outra). Falha na condição central do enunciado.

Mosaico 2: repetindo o teste, o lado interno compartilhado pelas duas peças menores (ambas 30°-60°-90°) tem, nas duas peças, o ângulo de 60° oposto a ele — ou seja, esse lado é o cateto maior nas duas, no mesmo papel. Mesmos ângulos + mesmo lado correspondente = triângulos realmente congruentes. A peça que sobra tem ângulos 30°, 120° e 30°: dois ângulos de 30° se repetem, então ela é isósceles. As três condições do enunciado se confirmam ao mesmo tempo.

Mosaico 3: as duas peças retangulares têm ângulos 22°-68°-90°, e o lado interno que elas compartilham tem, nas duas, o ângulo de 90° oposto a ele — ou seja, esse lado é a hipotenusa nas duas peças, no mesmo papel. Logo essas duas peças são congruentes (aqui a congruência não falha). O problema está na peça restante: seus ângulos são 46°, 90° e 44° — como 46° ≠ 44°, nenhum ângulo se repete, então ela não é isósceles. Falha na terceira condição do enunciado.

Subpasso 4.3 — Verificação

Só o Mosaico 2 atende, ao mesmo tempo, às três exigências: contorno retângulo (90° no vértice de encontro das três peças), as duas peças retangulares 30°-60°-90° genuinamente congruentes (mesmo cateto maior compartilhado) e a peça restante isósceles (30°-120°-30°). Isso corresponde à alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1.

❌ Incorreta: o contorno fecha em ângulo reto e a peça isósceles até aparece certinha (30°-120°-30°), mas o lado compartilhado pelas duas peças "gêmeas" é hipotenusa em uma e apenas cateto maior na outra — impossível se elas tivessem o mesmo tamanho. Peças semelhantes, não congruentes.

B) 2.

✅ Correta: contorno fecha 90°, as duas peças retangulares (30°-60°-90°) compartilham o mesmo lado no mesmo papel (cateto maior, oposto ao ângulo de 60°, nas duas) — logo são de fato congruentes — e a peça restante (30°-120°-30°) tem dois ângulos iguais, caracterizando-a como isósceles.

C) 3.

❌ Incorreta: as duas peças retangulares (22°-68°-90°) até são congruentes de verdade (o lado compartilhado é hipotenusa nas duas). O erro está na terceira peça, de ângulos 46°, 90° e 44°: como 46° ≠ 44°, ela não é isósceles.

D) 4.

❌ Incorreta: os três vértices externos somam 80°, 75° e 25° — nenhum é 90°. O triângulo maior nem sequer é retângulo, condição exigida já na primeira frase do enunciado.

E) 5.

❌ Incorreta: mesmo problema do Mosaico 4 — nenhum vértice externo totaliza 90°. O formato final não é retângulo, o que já desqualifica o mosaico antes de qualquer checagem de congruência ou isoscelismo.

🏆 Gabarito: B — O Mosaico 2 é o único que forma, ao mesmo tempo, um contorno retângulo, duas peças retangulares 30°-60°-90° efetivamente congruentes (mesmo lado no mesmo papel) e uma terceira peça isósceles (30°-120°-30°).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas o Mosaico 2 cumpre as três condições do enunciado simultaneamente — forma retângula, peças retangulares realmente congruentes e peça restante isósceles —, por isso a letra B é a única resposta possível.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma testar geometria plana com figuras "armadilha" cheias de ângulos marcados, em que a resposta certa exige ir além da aparência e verificar ângulos e lados correspondentes — um padrão recorrente em questões de mosaicos, ladrilhamentos e composição de figuras.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "triângulos congruentes", não basta conferir se os ângulos batem (isso só garante semelhança) — é preciso checar se o lado compartilhado por duas peças desempenha o mesmo papel nas duas (hipotenusa com hipotenusa, cateto com cateto).
• Dica de eliminação rápida: primeiro, some os ângulos dos vértices externos de cada figura — se nenhum resultar em 90°, a alternativa cai na hora (eliminou D e E em segundos). Depois, nas sobreviventes, veja se a peça "solta" tem dois ângulos iguais: se não tiver, ela não é isósceles e a alternativa some (eliminou C).
• Conexões: soma dos ângulos internos de um triângulo (180°); critérios de congruência de triângulos (LAL, ALA, LLL); classificação de triângulos quanto aos lados (isósceles, escaleno, equilátero) e quanto aos ângulos (retângulo, acutângulo, obtusângulo).