Questão 169 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume da esfera e volume do cilindro)
• ⚡ Nível: Médio — a questão fornece as fórmulas prontas, mas exige montar e resolver com precisão uma equação com frações e expoentes
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo e comparação de volumes de sólidos geométricos (H23 — resolver situação-problema envolvendo o cálculo de volume de sólidos)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual deve ser a altura h do cilindro, em função de R, para que seu volume seja igual ao volume do frasco esférico original?"
• Palavras-chave decisivas: mesma capacidade, raio da base R/3, altura h
• Armadilha típica: elevar apenas o numerador ao quadrado em (R/3)² — escrever R²/3 em vez de R²/9 — ou esquecer o fator 4/3 da fórmula da esfera ao montar a igualdade
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de igualar duas expressões de volume, cancelar π corretamente e isolar h manipulando frações e potências sem perder nenhum fator

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume da esfera: V = (4/3)·π·R³, onde R é o raio. É o volume "de referência" que precisa ser preservado no novo frasco.
• Volume do cilindro: V = π·r²·h, onde r é o raio da base e h a altura. Aqui, r = R/3, então r² = (R/3)² = R²/9.
• Princípio da equivalência de volumes: quando dois sólidos devem ter "a mesma capacidade", basta igualar suas expressões de volume e resolver para a incógnita desejada — não é preciso calcular nenhum volume numérico.
• Manipulação de potências em frações: (R/3)² significa elevar numerador E denominador ao quadrado — R²/3² = R²/9. Esquecer o denominador é o erro mais comum nesse tipo de questão.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "frascos esféricos de raio R, com volume dado por (4/3)πR³" → fornece o volume fixo que deve ser mantido; é a constante da equação.
• Evidência 2: "frascos cilíndricos com raio da base R/3, cujo volume será dado por π(R/3)²h" → define a incógnita h dentro da fórmula do cilindro, já com o raio correto substituído.
• Evidência 3: "Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico" → é o comando que autoriza igualar as duas expressões de volume (esfera = cilindro) para descobrir h.
• Síntese: o problema não pede para calcular volumes numéricos, e sim para igualar as duas fórmulas fornecidas e isolar h algebricamente — um exercício de equação literal.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Igualar os volumes

Como a capacidade deve ser mantida, o volume do cilindro precisa ser igual ao volume da esfera:

Volume da esfera = Volume do cilindro

(4/3)·π·R³ = π·(R/3)²·h

Subpasso 4.2 — Simplificar e isolar h

Primeiro, desenvolve-se o termo (R/3)², elevando numerador e denominador ao quadrado:

(R/3)² = R²/9

Substituindo:

(4/3)·π·R³ = π·(R²/9)·h

Como π aparece nos dois lados, ele é cancelado:

(4/3)·R³ = (R²/9)·h

Isola-se h multiplicando ambos os lados pelo inverso de R²/9, que é 9/R²:

h = (4/3)·R³ · (9/R²)

h = (4 × 9)/3 · R³/R²

h = (36/3) · R

h = 12·R

Subpasso 4.3 — Verificação

Substituindo h = 12R de volta na fórmula do cilindro:

V_cilindro = π·(R/3)²·(12R) = π·(R²/9)·(12R) = (12π·R³)/9 = (4/3)·π·R³

O resultado é exatamente igual ao volume da esfera, (4/3)πR³, confirmando que h = 12R é a altura correta. Esse valor corresponde à alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2R

❌ Incorreta: resulta da soma de dois erros conceituais simultâneos — tratar o volume da esfera como se fosse (2/3)πR³ (confundindo-o com o volume de uma semiesfera) e, ao mesmo tempo, simplificar (R/3)² como R²/3, esquecendo de elevar também o denominador ao quadrado. A combinação desses dois deslizes reduz artificialmente o resultado para 2R.

B) 4R

❌ Incorreta: surge de elevar ao quadrado apenas o numerador de (R/3)², escrevendo R²/3 em vez de R²/9. O fator 4/3 da esfera é usado corretamente, mas o denominador "perde" o quadrado, o que triplica indevidamente o valor de h em relação ao denominador correto — resultando em (4/3)·3·R = 4R.

C) 6R

❌ Incorreta: decorre de confundir a fórmula do volume da esfera, (4/3)πR³, com a de uma semiesfera, (2/3)πR³ — um erro clássico de memorização de fórmulas. O termo (R/3)² é simplificado corretamente como R²/9, mas o fator errado (2/3 em vez de 4/3) leva a (2/3)·9·R = 6R.

D) 9R

❌ Incorreta: acontece quando o estudante esquece completamente o fator 4/3 da fórmula da esfera, tratando seu volume como se fosse simplesmente πR³ (como se a esfera "coubesse" no cubo do raio sem o fator numérico). Com (R/3)² = R²/9 calculado corretamente, obtém-se apenas 1·9·R = 9R; é o fator 4/3 que faltou multiplicar para chegar ao valor correto de 12R.

E) 12R

✅ Correta: é o único valor obtido ao igualar corretamente (4/3)πR³ = π(R/3)²h, mantendo o fator 4/3 da esfera e simplificando (R/3)² como R²/9 sem perder nenhum termo. A verificação por substituição confirma que o volume do cilindro com h = 12R reproduz exatamente o volume original da esfera.

🏆 Gabarito: E — h = 12R é o único valor que, substituído na fórmula do cilindro com raio R/3, reproduz exatamente o volume (4/3)πR³ da esfera original, preservando a mesma capacidade do frasco.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas h = 12R satisfaz a igualdade π(R/3)²h = (4/3)πR³; qualquer outro valor testado (2R, 4R, 6R, 9R) gera um volume diferente do volume esférico original, o que pode ser confirmado por substituição direta.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente cobra "equivalência de volumes" entre sólidos diferentes (cubo e esfera, cone e cilindro, esfera e cilindro), sempre fornecendo as fórmulas prontas — o desafio não está em decorar geometria espacial, mas em manipular a álgebra das fórmulas com cuidado.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "mesma capacidade", "mesmo volume" ou "sem perda de conteúdo" ao trocar de embalagem, a estratégia é igualar as duas expressões de volume e isolar a incógnita pedida — nunca é necessário calcular um volume numérico específico.
• Dica de eliminação rápida: ao isolar h, verifique se o π foi cancelado dos dois lados e se toda fração elevada ao quadrado (como R/3) teve numerador E denominador elevados — esse é o ponto onde a maioria dos erros (e das alternativas erradas) se concentra. Substituir o resultado de volta na fórmula original é a forma mais rápida de confirmar a resposta em poucos segundos.
• Conexões: o mesmo raciocínio de igualdade de volumes aparece em questões sobre latas cilíndricas versus caixas prismáticas e em problemas de "reaproveitamento de material" ao transformar um sólido em outro.