Questão 141 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sequências (Progressão Aritmética) e Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar o MMC de três períodos com a construção do termo geral de uma sequência, além de controlar o intervalo válido de n.
• 🎯 Tema/Habilidade: Aplicação do MMC a eventos periódicos simultâneos e representação da sequência resultante por um termo geral (Progressão Aritmética) — Competência de Matemática relacionada à modelagem de fenômenos cíclicos.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre a fórmula que gera, para n natural dentro de um intervalo específico, todos os instantes (em segundos) em que os três grupos bateram palmas ao mesmo tempo, entre o início e os 60 s do cronômetro."
• Palavras-chave decisivas: começaram a bater palmas quando ele registrou 1 s, simultaneamente, até o cronômetro registrar 60 s
• Armadilha típica: calcular corretamente o MMC(2, 3, 4) = 12, mas esquecer que o cronômetro não começou em zero, e sim em 1 s — isso desloca toda a sequência em +1 e muda o intervalo de valores possíveis de n.
• O que a resposta precisa demonstrar: o candidato deve reconhecer que os encontros simultâneos formam uma Progressão Aritmética de razão igual ao MMC dos três períodos, com primeiro termo igual ao instante inicial (1 s), e delimitar corretamente até onde essa sequência cabe dentro dos 60 s.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• MMC (Mínimo Múltiplo Comum): menor valor positivo que é múltiplo simultâneo de dois ou mais números; é a ferramenta natural para descobrir de quanto em quanto tempo eventos periódicos distintos voltam a coincidir.
• Progressão Aritmética (PA): sequência em que cada termo é obtido somando uma razão constante r ao termo anterior; seu termo geral é dado por aₙ = a₁ + (n − 1)·r.
• Deslocamento de origem temporal: quando um fenômeno periódico não começa no instante 0, todo o padrão de repetição é somado (transladado) pelo instante inicial — aqui, 1 s.
• Restrição de domínio (intervalo de n): ao modelar um fenômeno físico com uma fórmula matemática, é preciso verificar até qual n o valor gerado continua fazendo sentido dentro do contexto (aqui, aₙ ≤ 60).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "os alunos do grupo A deveriam bater palmas a cada 2 s, os do grupo B a cada 3 s e os do grupo C a cada 4 s" → define três eventos periódicos com períodos 2, 3 e 4 segundos, cuja coincidência depende do MMC desses números.
• Evidência 2: "os três grupos começaram a bater palmas quando ele registrou 1 s" → o primeiro instante de sincronia entre os três grupos é t = 1 s, não t = 0 s — esse é o termo inicial da sequência (a₁ = 1).
• Evidência 3: "os movimentos prosseguiram até o cronômetro registrar 60 s" → define o limite superior: só contam os encontros simultâneos com t ≤ 60 s.
• Síntese: o problema pede o termo geral de uma PA cujo primeiro termo é 1 s e cuja razão é o MMC(2, 3, 4), restrita aos valores de n que mantêm o termo dentro de 60 s.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o MMC dos períodos de batida

Os grupos batem palmas a cada 2 s, 3 s e 4 s. Para saber de quanto em quanto tempo os três batem juntos novamente (depois de já estarem sincronizados), calcula-se o MMC(2, 3, 4).

Fatorando: 2 = 2¹, 3 = 3¹, 4 = 2².

MMC(2, 3, 4) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12 s.

Ou seja, a cada 12 segundos após um encontro simultâneo, os três grupos voltam a bater palmas juntos.

Subpasso 4.2 — Construir a sequência dos instantes simultâneos

O primeiro encontro simultâneo é dado no enunciado: t = 1 s (todos começam juntos nesse instante). A partir daí, a cada 12 s ocorre um novo encontro simultâneo:

• 1º encontro: 1 s
• 2º encontro: 1 + 12 = 13 s
• 3º encontro: 13 + 12 = 25 s
• 4º encontro: 25 + 12 = 37 s
• 5º encontro: 37 + 12 = 49 s
• 6º encontro (teórico): 49 + 12 = 61 s → ultrapassa os 60 s, logo não é registrado.

Essa é uma Progressão Aritmética de primeiro termo a₁ = 1 e razão r = 12. O termo geral de uma PA é:

aₙ = a₁ + (n − 1)·r

Substituindo:

aₙ = 1 + 12·(n − 1) = 12(n − 1) + 1

Subpasso 4.3 — Verificação e delimitação do intervalo de n

Testando a fórmula aₙ = 12(n − 1) + 1:

• n = 1 → 12(0) + 1 = 1 ✓
• n = 2 → 12(1) + 1 = 13 ✓
• n = 3 → 12(2) + 1 = 25 ✓
• n = 4 → 12(3) + 1 = 37 ✓
• n = 5 → 12(4) + 1 = 49 ✓
• n = 6 → 12(5) + 1 = 61 → maior que 60, não é registrado.

Logo, a sequência anotada pelo estagiário tem exatamente 5 termos (1, 13, 25, 37, 49), e o termo geral válido é:

aₙ = 12(n − 1) + 1, com n natural, 1 ≤ n ≤ 5

Essa expressão bate exatamente com a alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 12n, com n natural, 1 ≤ n ≤ 5

❌ Incorreta: essa fórmula gera 12, 24, 36, 48, 60 — ou seja, assume que o primeiro encontro simultâneo ocorre em t = 12 s e ignora completamente que os grupos já começaram sincronizados em t = 1 s. O erro conceitual é tratar o início do cronômetro (t = 0 ou t = 1) como irrelevante, quando na verdade ele é o termo inicial da PA.

B) 24n, com n natural, 1 ≤ n ≤ 2

❌ Incorreta: usa período 24 s em vez de 12 s, como se o MMC(2, 3, 4) fosse 24 (possivelmente por multiplicar 2 × 3 × 4 = 24 sem simplificar os fatores comuns). Além disso, também ignora o deslocamento de +1 s do início. Dois erros conceituais empilhados: MMC calculado errado e origem temporal ignorada.

C) 12(n − 1), com n natural, 1 ≤ n ≤ 6

❌ Incorreta: acerta o período (razão 12, calculado corretamente pelo MMC), mas esquece de somar o instante inicial de 1 s. Essa fórmula gera 0, 12, 24, 36, 48, 60 — começando em t = 0, o que contraria o enunciado, que afirma explicitamente que a sincronia começou quando o cronômetro marcava 1 s. É o erro mais "sedutor", pois a estrutura da PA está certa, mas falta o "+1" que corrige a origem.

D) 12(n − 1) + 1, com n natural, 1 ≤ n ≤ 5

✅ Correta: reproduz exatamente a sequência 1, 13, 25, 37, 49 — período de 12 s (MMC(2,3,4)) somado ao instante inicial de 1 s, respeitando o limite de 60 s do cronômetro (o 6º termo, 61 s, ultrapassaria o tempo total e por isso não entra).

E) 24(n − 1) + 1, com n natural, 1 ≤ n ≤ 3

❌ Incorreta: acerta o deslocamento de origem (+1), mas usa período 24 em vez de 12, dobrando o MMC verdadeiro. Essa fórmula geraria 1, 25, 49 — pulando os encontros simultâneos em 13 s e 37 s, que de fato ocorreram, pois o MMC(2, 3, 4) é 12, não 24.

🏆 Gabarito: D — é a única fórmula que combina corretamente a razão 12 (MMC de 2, 3 e 4) com o deslocamento de origem +1 (instante inicial em que o cronômetro marcava 1 s) e delimita o intervalo de n até o quinto termo, único conjunto de valores que não ultrapassa os 60 s do experimento.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa D usa simultaneamente o período correto (MMC(2,3,4) = 12) e a origem correta (t = 1 s), gerando exatamente os cinco instantes de sincronia possíveis dentro de 60 s.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma explorar o MMC em contextos de "eventos periódicos que coincidem" — ônibus que partem juntos, sinais luminosos, remédios tomados em horários diferentes, palmas, batimentos etc. A pegadinha recorrente é o instante inicial não ser zero.
• Generalização: sempre que um problema envolver "de quanto em quanto tempo X eventos periódicos coincidem de novo", calcule o MMC dos períodos: ele é a razão da PA dos encontros simultâneos. Depois, some (ou verifique) o instante em que a primeira coincidência de fato ocorre, pois ele é o primeiro termo da sequência.
• Dica de eliminação rápida: calcule o MMC mentalmente antes de olhar as alternativas — aqui, MMC(2,3,4) = 12, o que já elimina B e E (que usam 24). Em seguida, lembre que o enunciado diz "começaram... quando ele registrou 1 s" — isso elimina A (usa 12n, sem deslocamento) e C (usa 12(n−1), começando em 0), restando apenas D.
• Conexões: o mesmo raciocínio de MMC aplicado a sequências aparece em problemas de calendário (dias da semana que coincidem), sinalização de trânsito e problemas de "quando dois corredores se encontram de novo na largada" — todos são casos de Progressão Aritmética com razão igual ao MMC dos períodos envolvidos.