Questão 179 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Quadrática (otimização com restrição orçamentária)
• ⚡ Nível: Difícil — exige montar duas variáveis a partir da figura, traduzir um orçamento fixo em equação linear, maximizar um produto via vértice de parábola e, por fim, converter corretamente as medidas em quantidade total de tela.
• 🎯 Tema/Habilidade: Otimização de área retangular sob restrição de custo, usando função quadrática (construir e interpretar modelos algébricos para situações-problema)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Determine, em metros, quanto de tela tipo A e quanto de tela tipo B a empresa deve comprar para cercar a maior área retangular possível gastando exatamente R$ 5.000,00."
• Palavras-chave decisivas: maior área possível, R$ 5.000,00 (orçamento fixo e integralmente utilizado), dois tipos de tela com preços diferentes
• Armadilha típica: confundir a medida de UM lado (x ou y) com a quantidade TOTAL de tela necessária — o retângulo tem dois lados de cada tipo, então a resposta final exige multiplicar x e y por 2
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar a função área em uma única variável a partir da restrição orçamentária e de localizar seu ponto de máximo (vértice da parábola)

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função quadrática e vértice da parábola: f(x) = ax² + bx + c, com a < 0, tem concavidade para baixo e ponto de máximo no vértice x_v = -b/(2a) — caminho mais direto para maximizar uma grandeza modelada por parábola.
• Modelagem por restrição linear: quando um custo total é fixo e distribuído entre duas variáveis (aqui, 40x + 10y = 5000), isola-se uma variável em função da outra para substituí-la na expressão que se deseja maximizar.
• Área do retângulo: A = base × altura = x·y; trocando y por uma expressão em x, a área vira função quadrática de uma variável, permitindo aplicar o vértice.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A ... R$ 20,00" e "nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B ... R$ 5,00" → o retângulo do público tem 2 lados de comprimento x (paralelos ao palco, tela A) e 2 lados de comprimento y (perpendiculares ao palco, tela B), como a figura indica: x na base, y na lateral.
• Evidência 2: "a empresa dispõe de R$ 5.000,00 ... quer obter a maior área possível" → problema clássico de otimização com restrição: maximizar A = x·y gastando exatamente o orçamento disponível, não apenas um valor qualquer que caiba nele.
• Síntese: escrever o custo total em função de x e y, isolar uma variável, substituir na área, obter uma parábola em x e achar seu vértice — e, na resposta final, converter x e y (medida de um lado) na quantidade total de cada tela (2x e 2y).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a equação do orçamento

Sejam x e y, em metros, as medidas indicadas na figura: x é o comprimento de cada lado paralelo ao palco e y é o comprimento de cada lado perpendicular ao palco.

Há dois lados de tela tipo A (comprimento x cada) a R$ 20,00/m e dois lados de tela tipo B (comprimento y cada) a R$ 5,00/m, logo o custo total é:

Custo = 20·(2x) + 5·(2y) = 40x + 10y

Como a empresa investe todo o orçamento disponível:

40x + 10y = 5000 → (÷10) → 4x + y = 500 → y = 500 - 4x

Subpasso 4.2 — Escrever a área como função quadrática e maximizar

A área da região destinada ao público é A(x) = x·y. Substituindo y = 500 - 4x:

A(x) = x·(500 - 4x) = 500x - 4x²

Essa é uma parábola com concavidade para baixo (a = -4 < 0), portanto tem ponto de máximo no vértice:

x_v = -b/(2a) = -500/(2·(-4)) = 500/8 = 62,5

Logo x = 62,5 m. Substituindo de volta em y = 500 - 4x:

y = 500 - 4·(62,5) = 500 - 250 = 250 m

Subpasso 4.3 — Verificação: converter x e y na quantidade TOTAL de cada tela

Atenção: x e y representam o comprimento de UM lado apenas. A pergunta exige a quantidade TOTAL de cada tela, e há dois lados de cada tipo:

Tela tipo A (2 lados de comprimento x): 2 × 62,5 = 125,0 m

Tela tipo B (2 lados de comprimento y): 2 × 250 = 500,0 m

Conferindo o orçamento: 20 × 125 + 5 × 500 = 2500 + 2500 = 5000 ✓ (bate exatamente com os R$ 5.000,00)

Área obtida: A = 62,5 × 250 = 15.625 m² — o maior valor possível entre as combinações que respeitam o orçamento (comparação completa no Passo 5).

Isso corresponde exatamente à alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 50,0 m da tela tipo A e 800,0 m da tela tipo B.

❌ Incorreta: respeita o orçamento (20·50 + 5·800 = 1000 + 4000 = 5000), mas corresponde a x = 25 e y = 400, que não é o vértice da parábola A(x) = 500x - 4x²; a área resultante é 25 × 400 = 10.000 m², bem menor que os 15.625 m² do ponto ótimo.

B) 62,5 m da tela tipo A e 250,0 m da tela tipo B.

❌ Incorreta: é a armadilha central da questão — 62,5 e 250 são os valores de x e y (medida de UM lado cada), não a quantidade total de tela, que exige multiplicar por 2. Além disso, gastar 20·62,5 + 5·250 = 1250 + 1250 = R$ 2.500,00 usa apenas metade do orçamento, contrariando a condição de que a empresa investe os R$ 5.000,00 inteiros.

C) 100,0 m da tela tipo A e 600,0 m da tela tipo B.

❌ Incorreta: respeita o orçamento (20·100 + 5·600 = 2000 + 3000 = 5000), mas corresponde a x = 50 e y = 300, que também não é o vértice; a área é 50 × 300 = 15.000 m², um pouco abaixo do máximo de 15.625 m².

D) 125,0 m da tela tipo A e 500,0 m da tela tipo B.

✅ Correta: é exatamente 2x = 125 m e 2y = 500 m, obtidos a partir do vértice da parábola A(x) = 500x - 4x² (x = 62,5 e y = 250). Respeita integralmente o orçamento de R$ 5.000,00 e produz a maior área possível (15.625 m²) entre todas as alternativas.

E) 200,0 m da tela tipo A e 200,0 m da tela tipo B.

❌ Incorreta: respeita o orçamento (20·200 + 5·200 = 4000 + 1000 = 5000), mas corresponde a x = 100 e y = 100; a área é 100 × 100 = 10.000 m², bem abaixo do máximo — mostra que apenas "gastar tudo" não garante a maior área, é preciso gastar exatamente na proporção que maximiza o produto x·y.

🏆 Gabarito: D — a área da região do público é máxima quando x = 62,5 m e y = 250 m (vértice da parábola obtida a partir da restrição orçamentária), o que corresponde a 125,0 m de tela tipo A (2x) e 500,0 m de tela tipo B (2y).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa D reúne as três condições simultâneas exigidas pelo enunciado — respeita integralmente o orçamento de R$ 5.000,00, converte corretamente x e y na quantidade total de cada tela (multiplicando por 2) e corresponde ao ponto de máximo real da função área.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente problemas de "maximizar área/volume/lucro sob restrição de custo ou material disponível", sempre resolvidos isolando uma variável na equação de restrição, substituindo-a na grandeza que se quer maximizar e aplicando o vértice da parábola (x_v = -b/2a).
• Generalização: sempre que o enunciado disser "obter o maior valor possível de um produto (área, receita etc.) sujeito a uma soma ou custo fixo", monte a restrição linear, isole uma variável, substitua na expressão do produto, ache o vértice — a resposta ótima estará sempre nesse ponto, nunca em valores escolhidos apenas por "fecharem a conta".
• Dica de eliminação rápida: verifique rapidamente quais alternativas fecham o orçamento em exatos R$ 5.000,00 (isso já elimina a alternativa B); entre as restantes, calcule o produto x·y de cada uma — a de maior produto é a correta, sem precisar nem montar a equação do vértice.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de "cercar um terreno com corda ou tela de comprimento fixo para maximizar a área" e em questões de maximizar lucro ou receita a partir de uma função quadrática de demanda — ambos resolvidos pelo vértice da parábola.