Questão 139 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (eventos independentes e probabilidade complementar)
• ⚡ Nível: Médio — a conta em si é simples, mas exige reconhecer que "pelo menos um" se resolve pelo complementar, e não por soma direta das porcentagens
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade da união de eventos independentes; competência de resolver situações-problema envolvendo raciocínio combinatório e probabilístico (eixo Matemática e suas Tecnologias)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que a chance de o homem chegar aos 80 anos é 20% e a da mulher é 30%, qual a probabilidade de que, daqui a 50 anos, pelo menos um dos dois esteja vivo?"
• Palavras-chave decisivas: pelo menos um, 20% dos homens, 30% das mulheres
• Armadilha típica: somar diretamente as porcentagens (20% + 30% = 50%), como se os eventos fossem mutuamente exclusivos, ou calcular apenas a chance de os dois estarem vivos ao mesmo tempo, confundindo "pelo menos um" com "os dois".
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da técnica do evento complementar — "pelo menos um vivo" é o oposto de "nenhum vivo" — combinada com a regra da multiplicação para eventos independentes.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Evento complementar: para qualquer evento A, vale P(A) + P(não A) = 1. Aqui, o complementar de "pelo menos um vivo" é "nenhum dos dois vivo" (nem o homem, nem a mulher).
• Eventos independentes: a sobrevivência do homem até os 80 anos não interfere na da mulher — os 20% e os 30% vêm de estatísticas populacionais gerais, não de uma relação de causa e efeito entre o casal. Por isso, a probabilidade de os dois eventos ocorrerem juntos (ou não ocorrerem juntos) é o produto das probabilidades individuais.
• "Pelo menos um" via complementar: quando se pede a probabilidade de "pelo menos um" entre eventos independentes, o caminho mais seguro (e que evita contar a interseção duas vezes) é calcular 1 menos a probabilidade de nenhum deles acontecer.
• Regra da soma (conferência): alternativamente, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), que deve chegar exatamente ao mesmo resultado do método do complementar — essa é a melhor forma de validar a resposta.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "20% dos homens... alcançarão a idade de 80 anos" → P(homem vivo aos 80) = 0,20, logo P(homem não vivo aos 80) = 0,80.
• Evidência 2: "30% das mulheres... alcançarão a idade de 80 anos" → P(mulher viva aos 80) = 0,30, logo P(mulher não viva aos 80) = 0,70.
• Evidência 3: "ambos com 30 anos de idade" + "daqui a 50 anos" → 30 + 50 = 80 anos: a pergunta sobre "estar vivo daqui a 50 anos" equivale exatamente aos dados de "alcançar 80 anos" fornecidos no texto. Não há conversão extra a fazer.
• Síntese: o problema fornece diretamente P(H) = 0,2 e P(M) = 0,3. Como se pede "pelo menos um vivo" e os eventos são independentes, a resolução passa por achar a probabilidade de nenhum estar vivo e subtrair de 1.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir os dados em probabilidades e seus complementares

Seja H o evento "o homem está vivo daqui a 50 anos" e M o evento "a mulher está viva daqui a 50 anos".

P(H) = 20% = 0,2 → P(não H) = 1 − 0,2 = 0,8

P(M) = 30% = 0,3 → P(não M) = 1 − 0,3 = 0,7

Subpasso 4.2 — Calcular a probabilidade de nenhum estar vivo

Como H e M são independentes, a probabilidade de nenhum dos dois estar vivo é o produto dos complementares:

P(não H ∩ não M) = P(não H) × P(não M) = 0,8 × 0,7 = 0,56

Subpasso 4.3 — Aplicar o complementar para obter "pelo menos um vivo" e verificar

P(pelo menos um vivo) = 1 − P(nenhum vivo) = 1 − 0,56 = 0,44 = 44%

Verificação cruzada pela regra da soma: P(H ∪ M) = P(H) + P(M) − P(H ∩ M) = 0,2 + 0,3 − (0,2 × 0,3) = 0,5 − 0,06 = 0,44. Os dois caminhos batem exatamente em 44%, confirmando a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 50%

❌ Incorreta: é o resultado de somar diretamente 20% + 30%, tratando os eventos como se fossem mutuamente exclusivos (como se homem vivo e mulher viva não pudessem ocorrer ao mesmo tempo). Esse valor ignora a interseção P(H ∩ M) = 6% e conta esse caso "a mais", violando a regra da soma de probabilidades P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B).

B) 44%

✅ Correta: é exatamente 1 − (0,8 × 0,7), o complementar de "nenhum vivo", coerente com a independência dos dois eventos e confirmado pela regra da soma.

C) 38%

❌ Incorreta: esse valor corresponde à probabilidade de exatamente um dos dois estar vivo (e não "pelo menos um"), calculada por P(H)·P(não M) + P(não H)·P(M) = 0,2×0,7 + 0,8×0,3 = 0,14 + 0,24 = 0,38. É um erro conceitual clássico: confundir "pelo menos um" (inclui o caso dos dois vivos) com "só um dos dois" (exclui o caso dos dois vivos).

D) 25%

❌ Incorreta: surge de uma média aritmética simples e sem sentido probabilístico entre os dois dados, (20% + 30%) ÷ 2 = 25%. Não corresponde a nenhuma regra válida de combinação de probabilidades.

E) 6%

❌ Incorreta: é P(H ∩ M) = 0,2 × 0,3 = 0,06, ou seja, a probabilidade de os dois estarem vivos simultaneamente — o extremo oposto do que foi pedido. Quem marca essa alternativa inverteu o sentido do enunciado, calculando "ambos vivos" em vez de "pelo menos um vivo".

🏆 Gabarito: B — a probabilidade de pelo menos um dos dois estar vivo daqui a 50 anos é 1 menos a probabilidade de nenhum estar vivo, isto é, 1 − (0,8 × 0,7) = 44%.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: B é a única alternativa compatível com a regra do complementar aplicada a eventos independentes; qualquer outro caminho (soma direta, média, ou cálculo da interseção) leva a valores que representam perguntas diferentes da que foi feita.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa recorrentemente o contexto de "pelo menos um" em situações de seguros, sorteios, testes médicos, torneios e jogos de azar — sempre testando se o estudante sabe trocar "pelo menos um" pelo seu complementar "nenhum".
• Generalização: para n eventos independentes A₁, A₂, ..., Aₙ, a probabilidade de que pelo menos um deles ocorra é sempre P(pelo menos um) = 1 − ∏(1 − P(Aᵢ)), isto é, 1 menos o produto das probabilidades de cada evento não ocorrer.
• Dica de eliminação rápida: ao ver "pelo menos um" com dois eventos independentes, descarte de cara a soma direta das porcentagens (aqui, 50%) — ela sempre superestima o resultado real — e descarte também o produto puro das probabilidades dadas (aqui, 6%), que responde "os dois juntos", não "pelo menos um".
• Conexões: essa mesma lógica do complementar aparece em probabilidade binomial ("pelo menos um sucesso em n tentativas") e em questões de genética e epidemiologia que pedem a chance de "pelo menos um" indivíduo apresentar determinada característica em uma amostra.