Questão 174 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Médias aritméticas simples e ponderada
• ⚡ Nível: Médio — a conta em si é simples, mas exige montar corretamente a equação de média ponderada entre dois blocos de meses com durações diferentes (7 e 5), o que costuma confundir quem tenta atalhos
• 🎯 Tema/Habilidade: Médias e proporcionalidade — resolver situação-problema do cotidiano envolvendo cálculo de médias (Competência de Área 7 da Matriz do ENEM)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quanto o vendedor precisa vender, em média, por mês, nos 5 meses que faltam, para que a média do ano inteiro feche na meta exigida pela empresa?"
• Palavras-chave decisivas: 7 primeiros meses, média mensal, 5 meses restantes
• Armadilha típica: calcular uma média simples entre o desempenho antigo (84) e a meta anual, como se os dois períodos do ano tivessem a mesma duração — eles não têm (7 meses × 5 meses).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de "desmontar" médias em totais (média × quantidade de meses), somar/subtrair esses totais corretamente e "remontar" a média do período que falta.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Média aritmética simples: soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Serve para resumir um conjunto de dados em um único número representativo.
• Relação total ↔ média: se a média de um período é conhecida, o total daquele período é obtido multiplicando a média pelo número de meses (Total = Média × n). Esse é o "truque" que resolve a questão.
• Média ponderada por período: quando o ano é dividido em dois blocos com médias diferentes (7 meses a 84 e 5 meses a X), a média anual não é a média simples de 84 e X — é o total de assinaturas do ano dividido por 12.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "nos 7 primeiros meses do ano, uma média mensal de 84 assinaturas vendidas" → total já vendido no primeiro bloco = 7 × 84 = 588 assinaturas.
• Evidência 2: "foi exigido que todos os vendedores tivessem, ao final do ano, uma média mensal de 99 assinaturas vendidas" → a média sobre os 12 meses do ano precisa fechar em 99, logo o total mínimo exigido no ano inteiro é 12 × 99 = 1.188 assinaturas.
• Evidência 3: "aumentar sua média mensal de vendas nos 5 meses restantes do ano" → confirma que sobram exatamente 5 meses (12 − 7) para compensar o que falta e alcançar a meta anual.
• Síntese: o caminho é: (1) transformar as duas médias conhecidas em totais, (2) descobrir quanto falta vender no ano subtraindo o que já foi vendido do total exigido, e (3) dividir essa diferença pelos 5 meses que restam, obtendo a nova média mensal necessária.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Total vendido nos 7 primeiros meses

Total₇ = 7 × 84 = 588 assinaturas.

Subpasso 4.2 — Total mínimo exigido para o ano inteiro

A empresa exige média mensal de 99 assinaturas ao longo dos 12 meses do ano. Logo:

Total₁₂ = 12 × 99 = 1.188 assinaturas.

Subpasso 4.3 — Quanto falta vender nos 5 meses restantes

Falta = Total₁₂ − Total₇ = 1.188 − 588 = 600 assinaturas a serem vendidas nos 5 meses que restam.

Subpasso 4.4 — Nova média mensal exigida

Nova média = Falta ÷ 5 = 600 ÷ 5 = 120 assinaturas por mês.

Subpasso 4.5 — Verificação

Substituindo de volta: 7 × 84 + 5 × 120 = 588 + 600 = 1.188. Dividindo pelos 12 meses: 1.188 ÷ 12 = 99 ✅. O valor bate exatamente com a meta anual da empresa, confirmando que 120 é a resposta correta — o mesmo valor da alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 91

❌ Incorreta: é o resultado de (84 + 99) ÷ 2 = 91,5 ≈ 91, ou seja, uma média simples entre o desempenho antigo e a meta anual. Esse cálculo ignora que os dois períodos do ano têm durações diferentes (7 meses e 5 meses) — tratar os dois números como se tivessem "peso igual" é o erro clássico de quem não converte médias em totais antes de operar.

B) 105

❌ Incorreta: corresponde a (99 − 84) × 7 = 15 × 7 = 105, o total de assinaturas "em atraso" acumulado nos 7 primeiros meses em relação à nova meta. Esse número é real, mas representa um déficit total acumulado — não uma média mensal. Quem marca essa alternativa esquece de distribuir esse déficit pelos 5 meses restantes e de somá-lo à própria meta mensal.

C) 114

❌ Incorreta: surge de resolver (84 + X) ÷ 2 = 99, isto é, tratando o bloco de 7 meses e o bloco de 5 meses como se pesassem igualmente na média final (uma "média das médias"). Isso dá X = 2 × 99 − 84 = 114. O erro conceitual é o mesmo da alternativa A, só que aplicado na direção inversa: ambos ignoram que a ponderação correta usa o número de meses de cada bloco, não uma divisão por dois.

D) 118

❌ Incorreta: é o tipo de valor que aparece quando há um pequeno deslize na multiplicação de 7 × 84 (por exemplo, calcular erroneamente 598 em vez de 588 assinaturas no primeiro período). A partir daí, (1.188 − 598) ÷ 5 = 118. Mostra como um erro de conta na etapa intermediária — e não na lógica do problema — já é suficiente para levar a uma alternativa errada, por isso a verificação final (Subpasso 4.5) é essencial.

E) 120

✅ Correta: é o único valor que, somado corretamente ao total já vendido nos 7 primeiros meses (588 + 5 × 120 = 1.188) e dividido pelos 12 meses do ano, reconstitui exatamente a média mensal exigida pela empresa (99 assinaturas/mês).

🏆 Gabarito: E — 120 é a única média mensal que, aplicada aos 5 meses restantes, faz o total anual de assinaturas bater com a exigência de 99 assinaturas/mês em 12 meses.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só 120 assinaturas/mês, somadas ao que já foi vendido, completam exatamente os 1.188 assinaturas exigidas no ano — qualquer outro valor deixa o total anual acima ou abaixo da meta.
• Padrão de cobrança: problemas de "média que precisa ser recuperada num período restante" aparecem com frequência no ENEM em contextos de vendas, notas escolares e metas de produção — sempre com dois (ou mais) blocos de tempo com médias diferentes.
• Generalização: sempre que uma média envolver períodos de duração diferente, resolva transformando cada média em total (Total = Média × quantidade), some ou subtraia os totais, e só no final divida pelo número de meses/itens do período que você quer encontrar. Nunca faça média simples das médias quando os períodos têm tamanhos diferentes.
• Dica de eliminação rápida: se uma alternativa está "no meio do caminho" entre o valor antigo e a meta (como 91 ou 114, próximos da média simples entre 84 e 99), desconfie — isso quase sempre indica o erro de ignorar os pesos (número de meses) de cada período.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de "nota que falta tirar na prova final para atingir a média" e em problemas de produção/consumo que pedem para recalcular uma taxa mensal a partir de uma meta acumulada.