Questão 167 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sequências numéricas e produtos notáveis (diferença de quadrados)
• ⚡ Nível: Fácil — basta escrever A_n = n², montar a diferença A_n − A_{n-1} e aplicar o produto notável (a−b)(a+b)
• 🎯 Tema/Habilidade: Generalização algébrica de um padrão geométrico (sequência de áreas de quadrados) — competência de modelar e representar situações por meio de expressões algébricas
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva, em função de n, uma expressão para o quanto a área do n-ésimo quadrado é maior do que a área do quadrado anterior."
• Palavras-chave decisivas: excede, A_n − A_{n-1}, para n ≥ 2
• Armadilha típica: confundir a "diferença entre os lados" (que seria simplesmente 1 cm, pois cada lado cresce 1 cm) com a "diferença entre as áreas", que cresce de forma não constante porque a área é proporcional ao quadrado do lado.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir a descrição verbal ("quanto a área excede a anterior") em uma subtração algébrica A_n − A_{n-1} e simplificá-la corretamente usando um produto notável.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do quadrado: para um quadrado de lado L, a área é A = L². Como o quadrado que ocupa a posição n tem lado medindo n cm, sua área é A_n = n².
• Sequência numérica indexada por n: A_1, A_2, A_3, ... representam, em ordem, as áreas dos quadrados 1, 2, 3, ... da figura. O termo anterior ao de posição n é o de posição (n − 1), ou seja, A_{n-1}.
• Diferença de quadrados (produto notável): a² − b² = (a − b)(a + b). Essa fatoração é a chave para simplificar n² − (n − 1)² sem precisar expandir tudo por Newton/distributiva termo a termo (embora a expansão direta também funcione).
• Domínio de validade (n ≥ 2): só faz sentido falar em "quadrado anterior" a partir do segundo quadrado da sequência, por isso o enunciado restringe n ≥ 2 (não existe A_0 na figura).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 cm, o segundo... 2 cm, o terceiro... 3 cm, e assim por diante" → confirma que o lado do quadrado de posição n é exatamente n cm, logo A_n = n².
• Evidência 2: "identificar em quanto a área de cada quadrado da sequência excede a área do quadrado anterior" → define literalmente a operação a ser feita: área atual menos área anterior, isto é, A_n − A_{n-1}.
• Evidência 3 (figura): os seis quadrados desenhados, alinhados pela base e crescendo da esquerda para a direita, mostram visualmente que o crescimento da área não é uniforme — a "faixa" que se soma de um quadrado para o outro fica cada vez mais larga, reforçando que a diferença de áreas cresce com n (não é constante).
• Síntese: a questão pede uma fórmula fechada, em função de n, para A_n − A_{n-1}, sabendo que A_n = n². Basta montar essa subtração e simplificar algebricamente.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever a expressão geral de A_n e de A_{n-1}

Como o lado do quadrado na posição n mede n centímetros, a área desse quadrado é:

A_n = n²

O quadrado anterior ocupa a posição (n − 1) e tem lado medindo (n − 1) cm, logo sua área é:

A_{n-1} = (n − 1)²

Subpasso 4.2 — Montar e desenvolver a diferença A_n − A_{n-1}

A_n − A_{n-1} = n² − (n − 1)²

Expandindo (n − 1)² pelo produto notável (a − b)² = a² − 2ab + b², com a = n e b = 1:

(n − 1)² = n² − 2·n·1 + 1² = n² − 2n + 1

Substituindo de volta:

A_n − A_{n-1} = n² − (n² − 2n + 1)

Distribuindo o sinal negativo:

A_n − A_{n-1} = n² − n² + 2n − 1

Os termos n² se cancelam:

A_n − A_{n-1} = 2n − 1

Caminho alternativo (mais rápido), usando diferença de quadrados:

n² − (n − 1)² = [n − (n − 1)]·[n + (n − 1)] = [1]·[2n − 1] = 2n − 1

Os dois caminhos confirmam o mesmo resultado.

Subpasso 4.3 — Verificação

Testando com um caso concreto: para n = 3, o terceiro quadrado tem área A_3 = 3² = 9 cm² e o segundo tem área A_2 = 2² = 4 cm². A diferença real é 9 − 4 = 5 cm².

Aplicando a fórmula obtida: 2n − 1 = 2·3 − 1 = 6 − 1 = 5 cm². ✓ Bate exatamente com o cálculo direto, confirmando que a expressão 2n − 1 é a resposta correta e corresponde à alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2n − 1

✅ Correta: é exatamente o resultado da simplificação de n² − (n − 1)², como demonstrado no Passo 4. Reflete corretamente que a diferença de áreas cresce linearmente com n (a cada quadrado, a "faixa" adicional aumenta 2 cm² a mais que a anterior).

B) 2n + 1

❌ Incorreta: erro de sinal na expansão do produto notável. Surge de quem calcula (n − 1)² = n² + 2n + 1 (trocando o sinal do termo central, que deveria ser −2n) ou de quem confunde com a expansão de (n + 1)². O sinal errado no termo do meio propaga um "+1" onde deveria haver um "−1".

C) −2n + 1

❌ Incorreta: corresponde a inverter a ordem da subtração, calculando A_{n-1} − A_n em vez de A_n − A_{n-1}. Como o enunciado pede claramente "em quanto a área excede a anterior" (área maior menos área menor), essa alternativa produziria um resultado negativo para n ≥ 2, o que não faz sentido físico (áreas crescem, não diminuem).

D) (n − 1)²

❌ Incorreta: é a armadilha mais tentadora, pois reaparece literalmente no desenvolvimento do problema — porém é a área do quadrado anterior (A_{n-1}), não a diferença entre as áreas. Quem marca essa alternativa provavelmente parou o raciocínio um passo antes de subtrair de A_n, confundindo "o termo anterior da sequência" com "a diferença pedida".

E) n² − 1

❌ Incorreta: resulta de um erro grosseiro ao "simplificar" (n − 1)² como se fosse n² − 1 (ignorando o termo cruzado −2n do produto notável, um erro clássico do tipo "quadrado da soma/diferença tratado como distributiva simples"). Se essa fosse a área anterior, a diferença ficaria n² − (n² − 1) = 1, constante — o que contraria visualmente a figura, em que a faixa adicionada cresce a cada quadrado.

🏆 Gabarito: A — A diferença A_n − A_{n-1} = n² − (n−1)² se simplifica algebricamente para 2n − 1, confirmado tanto pela expansão do produto notável quanto pela verificação numérica com n = 3.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa A reproduz fielmente o resultado de n² − (n − 1)², validado algebricamente e numericamente; todas as demais vêm de erros de sinal, de ordem de subtração ou de expansão incompleta do produto notável.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente propõe sequências definidas por uma fórmula geométrica simples (aqui, A_n = n²) e pede a diferença entre termos consecutivos — um jeito clássico de testar se o aluno sabe generalizar um padrão numérico em linguagem algébrica, sem precisar de fórmulas avançadas de PA/PG.
• Generalização: sempre que a área de figuras semelhantes crescer com o lado n, a diferença entre áreas consecutivas — n² − (n−1)² — resulta sempre em 2n − 1 (a sequência dos números ímpares, um resultado clássico da soma de quadrados perfeitos consecutivos).
• Dica de eliminação rápida: teste mentalmente com n = 2 (o caso mais simples): A_2 − A_1 = 4 − 1 = 3. Substitua n = 2 em cada alternativa — só a que resultar em 3 sobrevive (2·2 − 1 = 3, elimina B, C, D e E instantaneamente).
• Conexões: este raciocínio se conecta diretamente com produtos notáveis (diferença de quadrados) e com a soma dos primeiros números ímpares, que é sempre um quadrado perfeito (1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n²) — um padrão que costuma reaparecer em questões de progressões e indução matemática.