Questão 147 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão/proporção aplicada a custos e otimização com soluções inteiras (combinações que somam um total exato)
• ⚡ Nível: Médio — não exige fórmulas avançadas, mas exige comparar o "custo por ponto" de cada opção e testar sistematicamente as combinações inteiras que fecham exatamente em 12 pontos.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problema de otimização de custo no cotidiano (competência de leitura, interpretação e tomada de decisão quantitativa em situações-problema — Matemática e suas Tecnologias).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descobrir o menor valor total que a menina precisa gastar — compra dos salgadinhos necessários para somar exatamente 12 pontos, mais R$ 10,00 da promoção — para conseguir o bichinho de pelúcia."
• Palavras-chave decisivas: exatamente 12 pontos, acrescentar mais R$ 10,00, menor valor
• Armadilha típica: escolher a embalagem de 200 g por "render mais pontos de uma vez" (6 pontos por unidade) sem calcular quanto custa cada ponto individualmente — essa é, na verdade, a opção mais cara por ponto.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de comparar o custo unitário de cada embalagem, testar combinações inteiras que fechem em exatamente 12 pontos (sem sobra) e, por fim, somar corretamente os R$ 10,00 fixos exigidos pela promoção.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Razão custo/benefício (preço por ponto): dividir o preço de cada embalagem pelos pontos que ela oferece revela qual opção é mais "econômica" por unidade de pontuação — ferramenta central para decidir onde investir.
• Combinação linear inteira com soma fixa: o problema pede quantidades inteiras de cada embalagem (não é possível comprar "meio pacote") cuja soma de pontos seja rigorosamente 12 — isso é resolvido testando as poucas combinações possíveis, não com uma fórmula fechada.
• Otimização por enumeração finita: como os pontos por embalagem são 2, 4 e 6 (todos pares) e o alvo é 12, o número de combinações possíveis é pequeno, tornando viável (e seguro) listar todas e comparar os custos.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Ao totalizar exatamente 12 pontos em embalagens" → a soma dos pontos das embalagens compradas precisa fechar em 12 rigorosamente — não vale "passar" nem "faltar".
• Evidência 2: a tabela (50 g/2 pontos/R$ 2,00; 100 g/4 pontos/R$ 3,60; 200 g/6 pontos/R$ 6,40) → fornece os três "blocos de construção" disponíveis para montar os 12 pontos, cada um com um custo próprio.
• Evidência 3: "acrescentar mais R$ 10,00 ao valor da compra" → o valor final que a menina desembolsa é o custo dos salgadinhos mais R$ 10,00 fixos — esse acréscimo não pode ser esquecido no resultado final.
• Síntese: o problema exige encontrar, entre todas as formas de somar exatamente 12 pontos com as três embalagens, aquela de menor custo em salgadinhos, e então somar R$ 10,00 a esse custo mínimo para obter a resposta.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o custo por ponto de cada embalagem

Dividindo o preço pelos pontos, temos o "preço por ponto" de cada opção:

• 50 g: R$ 2,00 ÷ 2 = R$ 1,00 por ponto
• 100 g: R$ 3,60 ÷ 4 = R$ 0,90 por ponto (a mais barata)
• 200 g: R$ 6,40 ÷ 6 ≈ R$ 1,0667 por ponto (a mais cara)

Isso já indica que, se for possível montar os 12 pontos usando só embalagens de 100 g, essa deve ser a rota mais barata.

Subpasso 4.2 — Testar a combinação só com embalagens de 100 g

12 ÷ 4 = 3, ou seja, 3 embalagens de 100 g somam exatamente 4 + 4 + 4 = 12 pontos, sem sobra nenhuma. Isso é ótimo, porque significa que dá para usar exclusivamente a opção mais barata por ponto.

Custo dessa compra: 3 × R$ 3,60 = R$ 10,80.

Subpasso 4.3 — Conferir que nenhuma outra combinação inteira é mais barata

Para não haver dúvida, é preciso listar todas as formas de somar 12 pontos com embalagens de 2, 4 e 6 pontos (chamando de x, y, z as quantidades de embalagens de 50 g, 100 g e 200 g, com 2x + 4y + 6z = 12, ou seja, x + 2y + 3z = 6):

| x (50 g) | y (100 g) | z (200 g) | Pontos | Custo |

|---|---|---|---|---|

| 6 | 0 | 0 | 12 | 6×2,00 = R$ 12,00 |

| 4 | 1 | 0 | 12 | 4×2,00+3,60 = R$ 11,60 |

| 2 | 2 | 0 | 12 | 2×2,00+2×3,60 = R$ 11,20 |

| 0 | 3 | 0 | 12 | 3×3,60 = R$ 10,80 ✅ menor |

| 3 | 0 | 1 | 12 | 3×2,00+6,40 = R$ 12,40 |

| 1 | 1 | 1 | 12 | 2,00+3,60+6,40 = R$ 12,00 |

| 0 | 0 | 2 | 12 | 2×6,40 = R$ 12,80 |

Conferindo a tabela, R$ 10,80 (3 embalagens de 100 g) é, de fato, o menor custo possível entre todas as combinações inteiras que fecham em exatamente 12 pontos — confirmando o que já era esperado pelo custo por ponto calculado no Subpasso 4.1.

Subpasso 4.4 — Verificação: somar os R$ 10,00 da promoção

Custo mínimo dos salgadinhos + acréscimo da promoção:

R$ 10,80 + R$ 10,00 = R$ 20,80

Esse valor bate exatamente com a alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) R$ 10,80.

❌ Incorreta: é apenas o custo dos salgadinhos (3 embalagens de 100 g), sem somar os R$ 10,00 que a promoção exige para trocar pelo bichinho de pelúcia. Quem marca essa alternativa encontrou corretamente a combinação mais barata, mas esqueceu de completar o cálculo com a condição final do enunciado.

B) R$ 12,80.

❌ Incorreta: corresponde ao custo de 2 embalagens de 200 g (2 × R$ 6,40 = R$ 12,80), que também somam 12 pontos (6 + 6), mas essa não é a combinação de menor custo — além disso, também falta somar os R$ 10,00.

C) R$ 20,80.

✅ Correta: resulta da combinação de menor custo possível para fechar exatamente 12 pontos (3 embalagens de 100 g = R$ 10,80) somada aos R$ 10,00 fixos exigidos pela promoção (R$ 10,80 + R$ 10,00 = R$ 20,80).

D) R$ 22,00.

❌ Incorreta: corresponde a comprar 6 embalagens de 50 g (6 × R$ 2,00 = R$ 12,00), que somam 12 pontos, mais os R$ 10,00 (R$ 12,00 + R$ 10,00 = R$ 22,00). É a armadilha de quem usa só a menor embalagem (a mais "familiar") sem comparar o custo por ponto entre as três opções.

E) R$ 22,80.

❌ Incorreta: corresponde a comprar 2 embalagens de 200 g (2 × R$ 6,40 = R$ 12,80) mais os R$ 10,00 (R$ 12,80 + R$ 10,00 = R$ 22,80). É a armadilha de quem pensa que a embalagem com mais pontos por unidade (6 pontos) é automaticamente a mais econômica, ignorando que o preço por ponto dela é, na verdade, o mais alto das três.

🏆 Gabarito: C — a única alternativa que combina corretamente o menor custo de aquisição dos salgadinhos (R$ 10,80, obtidos com 3 embalagens de 100 g) com o acréscimo fixo de R$ 10,00 exigido pela promoção, totalizando R$ 20,80.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa C soma o custo mínimo real (R$ 10,80) ao valor fixo de R$ 10,00 da promoção; todas as demais ou usam uma combinação de embalagens mais cara, ou esquecem de somar os R$ 10,00.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente propõe problemas de "otimização de compras" envolvendo pontos, milhas, combos ou pacotes promocionais, exigindo que o aluno compare custo-benefício (razão preço/quantidade) e teste combinações inteiras até atingir um total exato.
• Generalização: em problemas do tipo "junte exatamente X pontos/itens gastando o mínimo possível", calcule primeiro o custo por unidade de cada opção disponível para identificar a mais vantajosa; depois, verifique se essa opção sozinha consegue atingir exatamente o total pedido (sem sobra) — se conseguir, ela tende a ser a resposta ótima, mas vale sempre conferir combinações vizinhas para ter certeza.
• Dica de eliminação rápida: alternativas que reproduzem o custo de uma única combinação de embalagens sem somar o valor fixo adicional do enunciado (como R$ 10,80 e R$ 12,80 aqui) podem ser eliminadas de cara — são pegadinhas clássicas que ignoram a última etapa do problema.
• Conexões: razão e proporção aplicadas a preços unitários; equações diofantinas simples (soluções inteiras de uma equação linear); problemas de programação linear/otimização com restrições no cotidiano.