Questão 166 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (tangência de circunferências/esferas apoiadas num plano) + Teorema de Pitágoras
• ⚡ Nível: Médio — a álgebra é simples, mas exige "enxergar" um triângulo retângulo escondido dentro de uma situação real com duas bolas apoiadas no chão.
• 🎯 Tema/Habilidade: Aplicação do Teorema de Pitágoras a circunferências tangentes externamente, apoiadas numa mesma reta — modelagem geométrica de situação-problema do cotidiano (esporte da bocha).
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas vezes o raio do bolim cabe na distância d entre os pontos em que a bocha e o bolim tocam o chão?"
• Palavras-chave decisivas: encostada (as duas bolas se tocam, ou seja, são tangentes externamente), pontos em que... tocam o chão (A e B são as projeções dos centros C e O sobre o plano da cancha), razão entre d e o raio do bolim (a resposta é um número puro, não uma medida em cm).
• Armadilha típica: achar que d é simplesmente a soma ou a diferença dos raios (R+r ou R−r) — como se as duas bolas estivessem "alinhadas" no chão. Isso ignora que o segmento que une os centros C e O é inclinado, porque as bolas têm tamanhos diferentes.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de transformar uma cena tridimensional (duas esferas apoiadas num plano, tangentes entre si) num triângulo retângulo auxiliar, identificando corretamente qual segmento é a hipotenusa e quais são os catetos.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Tangência externa entre circunferências: quando duas circunferências (ou esferas, vistas em corte) se tocam externamente em um único ponto, a distância entre seus centros é exatamente igual à soma dos dois raios.
• Projeção ortogonal sobre o plano de apoio: como cada bola é uma esfera apoiada num plano horizontal, o ponto de contato com o chão fica exatamente "embaixo" do centro — ou seja, A é o pé da perpendicular baixada de C, e B é o pé da perpendicular baixada de O.
• Teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo, hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂². Aqui ele conecta três informações: a distância entre os centros (hipotenusa), a diferença de altura entre os centros (cateto vertical) e a distância d entre os pontos de apoio no chão (cateto horizontal, que é exatamente o que a questão quer).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "um jogador tenha lançado uma bocha de raio 5 cm que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm" → a bocha (raio R = 5 cm) toca externamente o bolim (raio r = 2 cm); logo a distância entre os centros é CO = R + r = 5 + 2 = 7 cm.
• Evidência 2: "A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha" → A fica na vertical exatamente abaixo de C (a uma "altura" R = 5 cm do chão) e B fica na vertical abaixo de O (a uma "altura" r = 2 cm do chão). A distância horizontal entre A e B é a mesma distância horizontal entre C e O.
• Síntese: Se eu traçar, a partir de O, uma reta horizontal até encontrar a reta vertical que passa por C e A, formo um triângulo retângulo cuja hipotenusa é CO (= R + r), cujo cateto vertical é a diferença de alturas dos centros (R − r) e cujo cateto horizontal é exatamente d = AB, o valor que a questão pede para comparar com o raio do bolim.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando o triângulo retângulo auxiliar

Marque C (centro da bocha) a uma altura R = 5 cm do chão, e O (centro do bolim) a uma altura r = 2 cm do chão. Trace por O uma paralela ao chão até cruzar a vertical CA; chame esse ponto de P. O triângulo CPO é retângulo em P, com:

• Hipotenusa: CO = R + r = 5 + 2 = 7 cm (porque a bocha está encostada no bolim, ou seja, as duas esferas são tangentes externamente).
• Cateto vertical: CP = R − r = 5 − 2 = 3 cm (a diferença entre as alturas dos dois centros).
• Cateto horizontal: PO = d (é igual à distância AB, pois PO é paralelo ao chão e tem o mesmo comprimento que a projeção horizontal de CO).

Subpasso 4.2 — Aplicando o Teorema de Pitágoras

(R + r)² = d² + (R − r)²

7² = d² + 3²

49 = d² + 9

d² = 40

d = √40 = √(4 × 10) = 2√10 cm

Subpasso 4.3 — Calculando a razão pedida e verificando

A questão não pede d, pede a razão d/raio do bolim:

d/r = 2√10 / 2 = √10

Verificação numérica: √10 ≈ 3,16, ou seja, a distância entre os pontos de apoio é cerca de 3,16 vezes o raio do bolim — um valor maior que 1 (faz sentido, já que as bolas têm tamanhos bem diferentes) e compatível com uma das alternativas expressas em radical. A razão d/r = √10 corresponde exatamente à alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1

❌ Incorreta: equivale a assumir d = r, como se a distância entre os pontos de apoio fosse igual ao próprio raio do bolim. Esse valor ignora completamente a inclinação do segmento CO e o Teorema de Pitágoras — é o erro de "ler" a figura de forma apressada, sem montar o triângulo retângulo.

B) 2√10/5

❌ Incorreta: o numerador (2√10) está certo — é o valor de d —, mas o denominador usa o raio da bocha (R = 5) em vez do raio do bolim (r = 2). É o erro clássico de trocar qual dos dois raios entra na razão pedida pelo enunciado.

C) √10/2

❌ Incorreta: equivale a dividir d = 2√10 pelo diâmetro do bolim (2r = 4) em vez do raio (r = 2), ou a "perder" um fator 2 ao simplificar √40. O resultado numérico fica exatamente metade do valor correto.

D) 2

❌ Incorreta: corresponde a admitir, sem nenhum cálculo geométrico, que d é igual ao diâmetro do bolim (d = 2r), só porque na figura o bolim aparece "encaixado" entre as duas linhas verticais. É uma suposição visual que não decorre de nenhuma relação métrica real da figura.

E) √10

✅ Correta: é o resultado exato obtido ao aplicar corretamente o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela hipotenusa CO = R + r = 7, pelo cateto vertical R − r = 3 e pelo cateto horizontal d, seguido da divisão correta de d pelo raio do bolim (r = 2): d/r = 2√10/2 = √10.

🏆 Gabarito: E — a razão d/r = √10 é a única consistente com a aplicação correta do Teorema de Pitágoras (hipotenusa R+r, cateto R−r, cateto d) seguida da divisão de d pelo raio do bolim.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa E preserva, simultaneamente, o valor correto de d (2√10, obtido de 7² − 3² = 40) e a divisão pelo raio certo (o do bolim, r = 2); todas as demais trocam algum desses dois ingredientes.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora "esconder" o Teorema de Pitágoras dentro de situações tridimensionais do cotidiano — bolas apoiadas no chão, escadas encostadas em paredes, objetos empilhados, latas ou canos tangentes. A pegada é sempre a mesma: transformar a cena real num triângulo retângulo auxiliar.
• Generalização: sempre que duas circunferências (ou esferas) de raios R e r estiverem tangentes externamente e apoiadas sobre uma mesma reta (ou plano), a distância d entre os pontos de apoio satisfaz d² = (R+r)² − (R−r)² = 4Rr, ou seja, d = 2√(R·r) — a hipotenusa é sempre a soma dos raios e o cateto vertical é sempre a diferença dos raios.
• Dica de eliminação rápida: desconfie de alternativas que são números inteiros "redondos" (como 1 ou 2) em questões que claramente pedem Pitágoras com valores que não formam quadrado perfeito — costumam ser armadilhas de quem leu a figura sem calcular. Priorize a alternativa cujo radical bate com o valor de d² que você calculou.
• Conexões: problemas de duas esferas/discos tangentes apoiados numa reta, problemas de "escada apoiada em muro com obstáculo no meio do caminho" e problemas de circunferências inscritas ou tangentes entre si — todos resolvidos pela mesma ideia de montar um triângulo retângulo com a soma e a diferença dos raios (ou dimensões).