Questão 173 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Exponencial (propriedades de potência)
• ⚡ Nível: Médio — a resposta certa não sai de uma conta direta; exige reconhecer que somar 3 ao expoente equivale a multiplicar o resultado por uma potência de 2.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de crescimento exponencial e interpretação de parâmetros de uma função do tipo P(t) = a·bᵗ
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Usando a fórmula P(t) = 40 000 · 2^(t/3), o que acontece com a população de bactérias quando o tempo t avança 3 horas?"
• Palavras-chave decisivas: fórmula da população, a cada 3 horas, P(t) = 40 000 · 2^(t/3)
• Armadilha típica: olhar o número "3" que aparece dividindo o expoente e concluir, por associação direta e apressada, que a população "triplica" ou é "reduzida a um terço" — sem de fato calcular a razão entre P(t+3) e P(t).
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato sabe comparar dois valores de uma função exponencial separados por um intervalo fixo de tempo, usando a propriedade de soma de expoentes (bˣ⁺ʸ = bˣ · bʸ), e não apenas "ler" os números da fórmula de forma literal.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função exponencial P(t) = a · b^(t/c): "a" é o valor inicial (quando t = 0), "b" é a base que multiplica a cada "passo completo", e "c" indica de quantas em quantas unidades de tempo esse passo completo (multiplicação por b) acontece.
• Propriedade de potência bˣ⁺ʸ = bˣ · bʸ: ferramenta central da questão — permite separar o efeito de "avançar 3 no tempo" em um fator multiplicativo isolado, sem precisar calcular valores numéricos completos de P(t).
• Razão entre dois instantes de uma função exponencial: para saber "o que acontece a cada intervalo fixo", o caminho correto é sempre calcular P(t + intervalo) / P(t), e não interpretar isoladamente os números que aparecem na fórmula.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades" → confirma que 40 000 é o valor de P(0), ou seja, a população em t = 0; esse número não interfere na razão de crescimento, apenas no ponto de partida.
• Evidência 2: "P(t) = 40 000 · 2^(t/3)" → a base da potência é 2 (não 3!) — o número 3 aparece apenas dividindo o expoente t, controlando a "velocidade" com que esse fator 2 é aplicado.
• Síntese: como a pergunta trata de um intervalo de exatamente 3 horas — o mesmo número que divide t no expoente —, o problema foi desenhado para que esse "3 horas" cancele exatamente o "/3" do expoente, isolando o fator multiplicativo puro da base, que é 2.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever a população em um instante t + 3

Para comparar a população "antes" e "3 horas depois", escrevemos P(t) no instante t e P(t+3) no instante t + 3:

P(t) = 40 000 · 2^(t/3)

P(t+3) = 40 000 · 2^((t+3)/3)

Subpasso 4.2 — Separar o expoente usando propriedade de potência

O expoente (t+3)/3 pode ser reescrito como uma soma:

(t+3)/3 = t/3 + 3/3 = t/3 + 1

Logo:

P(t+3) = 40 000 · 2^(t/3 + 1)

Aplicando a propriedade bˣ⁺ʸ = bˣ · bʸ:

P(t+3) = 40 000 · 2^(t/3) · 2¹ = 2 · [40 000 · 2^(t/3)] = 2 · P(t)

Ou seja: P(t+3) = 2 · P(t) — a população 3 horas depois é sempre o dobro da população 3 horas antes, qualquer que seja o instante t escolhido.

Subpasso 4.3 — Verificação numérica

Testando com valores concretos de t:

• Em t = 0: P(0) = 40 000 · 2^(0/3) = 40 000 · 2⁰ = 40 000
• Em t = 3: P(3) = 40 000 · 2^(3/3) = 40 000 · 2¹ = 80 000
• Em t = 6: P(6) = 40 000 · 2^(6/3) = 40 000 · 2² = 160 000

Comparando: 80 000 ÷ 40 000 = 2 e 160 000 ÷ 80 000 = 2. A cada 3 horas a população dobra, confirmando o resultado algébrico do Subpasso 4.2 — a razão é constante em intervalos iguais, como esperado de uma função exponencial.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) reduzida a um terço.

❌ Incorreta: descreve um decaimento (a população diminuindo), mas a base da potência é 2 > 1, o que caracteriza crescimento, não decaimento. Além disso, essa alternativa parece nascer de inverter erroneamente o "3" do denominador do expoente, tratando-o como se fosse um fator de redução.

B) reduzida à metade.

❌ Incorreta: também descreve decaimento, o oposto do que a fórmula mostra. Reduzir à metade a cada 3 horas corresponderia a uma função como P(t) = 40 000 · (1/2)^(t/3), com base entre 0 e 1 — o que não é o caso aqui, já que a base é 2.

C) reduzida a dois terços.

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma operação derivada da fórmula dada; mistura, de forma equivocada, o número 3 do denominador do expoente com uma ideia de fração de redução, sem base em nenhum cálculo válido de razão P(t+3)/P(t).

D) duplicada.

✅ Correta: como demonstrado no Passo 4, P(t+3) = 2 · P(t) para qualquer t. Isso significa que, a cada 3 horas, a população de bactérias é multiplicada por 2, ou seja, duplica. Esse resultado vem diretamente da base 2 da potência, não do número 3 do expoente.

E) triplicada.

❌ Incorreta: é o erro mais comum e "sedutor" da questão — o candidato vê o número 3 no denominador do expoente (t/3) e conclui, por associação direta e errada, que a população "triplica" a cada 3 horas. Mas esse 3 controla apenas a velocidade (a cada quantas horas o fator de crescimento é aplicado), enquanto quem determina o fator multiplicativo é a base da potência, que é 2.

🏆 Gabarito: D — a cada 3 horas, o expoente t/3 aumenta exatamente 1 unidade inteira, o que multiplica a população pela base da potência, 2¹ = 2; logo, a população duplica a cada 3 horas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra D é a única compatível com a matemática da função: o fator de crescimento em cada intervalo de 3 horas é sempre 2, nunca 3, 1/2 ou 2/3 — esses últimos surgem de leituras apressadas dos números presentes na fórmula.
• Padrão de cobrança: o ENEM testa com frequência funções exponenciais do tipo P(t) = a · b^(t/c) pedindo "o que acontece a cada c unidades de tempo", forma clássica de verificar se o estudante entende o papel de cada parâmetro sem depender de contas longas.
• Generalização: em P(t) = a · b^(t/c), a cada intervalo de c unidades de tempo a grandeza é sempre multiplicada pela base b (dobra se b = 2, triplica se b = 3, cai à metade se b = 1/2) — o denominador c só ajusta a velocidade do relógio, nunca o fator de multiplicação.
• Dica de eliminação rápida: identifique primeiro a base da potência — ela sozinha revela se o fenômeno cresce (base > 1) ou decai (base entre 0 e 1), eliminando de cara metade das alternativas antes de qualquer conta.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em juros compostos e na meia-vida de substâncias radioativas (decaimento exponencial).