Questão 143 — ENEM 2016 Reaplicação

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Exponencial (leitura de gráfico + resolução de equação exponencial)
• ⚡ Nível: Médio — exige extrair dois pontos de um gráfico, montar o modelo exponencial e ainda interpretar corretamente o que significa "crescer 7,5 m" (variação, não altura final)
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômenos de crescimento exponencial a partir de gráfico (Competência de Área 5 do ENEM — construir noções de variação de grandezas)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Usando os dados do gráfico, descubra a lei da função exponencial que descreve a altura do eucalipto e calcule em que ano a árvore terá crescido 7,5 m em relação à altura de plantio."
• Palavras-chave decisivas: crescimento exponencial, y(0) fornece a altura da muda, crescerem 7,5 m após o plantio
• Armadilha típica: confundir "crescer 7,5 m" com "atingir 7,5 m de altura total" — a questão pede a variação de altura, e a árvore já nasce com 0,5 m, então a altura final de corte é 8 m, não 7,5 m.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de ler dois pontos do gráfico, montar y(t) = b·aᵗ, encontrar a constante a e resolver a equação exponencial isolando t.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função exponencial: toda função do tipo y(t) = b·aᵗ, com a > 0 e a ≠ 1, em que b = y(0) é o valor inicial (quando t = 0) e a é a taxa de crescimento por unidade de tempo.
• Determinação de parâmetros a partir do gráfico: basta ter dois pontos (t₁, y₁) e (t₂, y₂) da curva para montar um sistema e isolar a e b — geralmente um dos pontos é o cruzamento com o eixo y (t = 0).
• Potenciação e radiciação: para isolar a constante a numa equação do tipo aⁿ = k, usa-se a = ⁿ√k = k^(1/n); para isolar t numa equação do tipo aᵗ = k, usa-se logaritmo (t = logₐk), exceto quando k é uma potência exata de a.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (texto): "y(0) fornece a altura da muda quando plantada" → o valor de y no instante t = 0 é o termo independente da função, isto é, o "b" do modelo y(t) = b·aᵗ.
• Evidência 2 (gráfico): o eixo y traz marcados os valores 0,5 e 32, e o eixo t traz marcados 0 e 6, com uma linha tracejada vertical subindo de t = 6 até a curva e, dali, horizontalmente até y = 32. Isso identifica dois pontos exatos da curva: (0; 0,5) e (6; 32).
• Síntese: y(0) = 0,5 (altura da muda ao ser plantada) e y(6) = 32 (altura seis anos depois). Com esses dois pontos monta-se completamente a função exponencial e, em seguida, resolve-se a condição "crescimento de 7,5 m" para achar o instante de corte.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar o modelo com os dados do gráfico

O modelo é y(t) = b·aᵗ, com a > 1 (crescimento exponencial). Do gráfico:

• Em t = 0: y(0) = b·a⁰ = b = 0,5 → logo b = 0,5.
• Em t = 6: y(6) = 0,5·a⁶ = 32.

Isso confirma exatamente a informação do enunciado ("y(0) fornece a altura da muda quando plantada" = 0,5 m).

Subpasso 4.2 — Encontrar a constante a

0,5·a⁶ = 32

a⁶ = 32 ÷ 0,5 = 64

a = 64^(1/6)

Como 2⁶ = 64, conclui-se que a = 2. A função fica então:

y(t) = 0,5 · 2ᵗ (equivalente a y(t) = 2^(t − 1))

Subpasso 4.3 — Traduzir "crescer 7,5 m" em equação

Atenção: o enunciado pede o momento em que a muda cresceu 7,5 m — ou seja, a diferença entre a altura em t e a altura inicial deve ser 7,5 m, e não a altura total igual a 7,5 m:

y(t) − y(0) = 7,5

0,5·2ᵗ − 0,5 = 7,5

0,5·2ᵗ = 8

2ᵗ = 16

2ᵗ = 2⁴

t = 4

Verificação: em t = 4, y(4) = 0,5·2⁴ = 0,5·16 = 8 m. O crescimento em relação ao plantio foi 8 − 0,5 = 7,5 m — exatamente a condição pedida. O valor t = 4 está entre 0 e 6, coerente com o trecho do gráfico exibido (0,5 → 32), e é o único inteiro entre as opções compatível com a equação. ✔️

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 3.

❌ Incorreta: se o corte fosse em t = 3, a altura seria y(3) = 0,5·2³ = 4 m, um crescimento de apenas 3,5 m em relação ao plantio — bem abaixo dos 7,5 m exigidos. Esse valor costuma aparecer quando o estudante tenta resolver "2ᵗ = 7,5" ignorando por completo o coeficiente 0,5 e a altura inicial, e depois arredonda o resultado (log₂7,5 ≈ 2,9) para o inteiro mais próximo, "3", sem perceber que a equação correta é outra.

B) 4.

✅ Correta: é exatamente o valor obtido em 0,5·2ᵗ = 8 → 2ᵗ = 16 = 2⁴, respeitando tanto a altura inicial de 0,5 m quanto o coeficiente 0,5 do modelo. Em t = 4 a árvore atinge 8 m de altura, crescimento líquido de 7,5 m desde o plantio.

C) 6.

❌ Incorreta: t = 6 é o valor que já aparece marcado no próprio gráfico, associado à altura de 32 m (ponto usado apenas para calibrar a função, não para responder à pergunta). Quem confunde o ponto de referência do gráfico com a resposta do problema — ou pensa erroneamente que "crescer 7,5 m" tem relação direta com o intervalo [0, 6] mostrado na figura — cai nessa armadilha.

D) log₂7.

❌ Incorreta: surge de um erro de modelagem parcial — o estudante subtrai corretamente a altura inicial (7,5 = y(t) − 0,5, chegando a y(t) = 7 em vez de 8) mas esquece o coeficiente 0,5 que multiplica a exponencial, tratando o modelo como y(t) = aᵗ em vez de y(t) = 0,5·aᵗ. Isso leva à equação 2ᵗ = 7, cuja solução não é um número inteiro (t = log₂7), sinal de que algo foi montado errado, já que o próprio gráfico indica uma função "arredondada" nos pontos de referência.

E) log₂15.

❌ Incorreta: é o erro mais comum da questão — esquecer que a árvore já nasce com 0,5 m e igualar diretamente a altura final ao valor do crescimento pedido: 0,5·2ᵗ = 7,5 (em vez de 0,5·2ᵗ = 7,5 + 0,5 = 8). Isso resulta em 2ᵗ = 15, cuja solução não fecha em um número inteiro (t = log₂15), mostrando que a interpretação "y(t) = 7,5" ignorou a condição de que o que deve valer 7,5 é a diferença y(t) − y(0), não y(t) isoladamente.

🏆 Gabarito: B — a função y(t) = 0,5·2ᵗ, obtida dos pontos (0; 0,5) e (6; 32) do gráfico, leva à equação 0,5·2ᵗ − 0,5 = 7,5, cuja solução exata é 2ᵗ = 16 = 2⁴, ou seja, t = 4 anos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: t = 4 é o único valor que satisfaz simultaneamente o modelo calibrado pelo gráfico (b = 0,5, a = 2) e a condição de crescimento líquido de 7,5 m; todas as demais alternativas resultam de omitir a altura inicial, o coeficiente 0,5, ou de confundir o ponto de referência do gráfico com a resposta.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente apresenta funções exponenciais associadas a contextos biológicos ou financeiros (crescimento de populações, juros compostos, decaimento radioativo) exigindo que o candidato extraia os parâmetros a partir de um gráfico ou tabela, e não de uma fórmula pronta.
• Generalização: sempre que um problema fornecer y(t) = b·aᵗ e dois pontos do gráfico, use o ponto em t = 0 para achar b diretamente (pois a⁰ = 1) e o segundo ponto para isolar a por radiciação; só depois disso monte a equação final pedida pelo enunciado.
• Dica de eliminação rápida: desconfie de respostas em forma de log quando os dados do gráfico são "redondos" (0,5 e 32, por exemplo) — nesses casos a resposta certa costuma ser um número inteiro, porque a questão foi construída para "fechar". Isso já elimina D e E antes mesmo de calcular.
• Conexões: juros compostos (matemática financeira) e meia-vida radioativa (decaimento exponencial) são os outros dois contextos mais cobrados sobre função exponencial no ENEM, sempre com a mesma estrutura de raciocínio: valor inicial × razãoᵗᵉᵐᵖᵒ.