Questão 179 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Aritmética básica (operações com números naturais aplicadas a um sistema de pontuação)
• ⚡ Nível: Fácil — exige apenas interpretar uma regra de pontos e somar multiplicações simples, sem nenhuma fórmula ou conceito avançado.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problemas do cotidiano com operações aritméticas (adição e multiplicação) — competência de leitura e tradução de linguagem natural para linguagem matemática.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo a regra de pontuação do torneio e o retrospecto do time em 12 jogos, calcule o total de pontos que esse time acumulou."
• Palavras-chave decisivas: cinco vitórias, sete empates, três sem gols
• Armadilha típica: tratar todos os 7 empates como se valessem 2 pontos cada (ou todos como 1 ponto), ignorando que o enunciado divide os empates em dois grupos com valores diferentes (com gols = 2 pontos; sem gols = 1 ponto).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de segmentar corretamente os resultados do time em três categorias de pontuação (vitória, empate com gols, empate sem gols) e somar os pontos de cada categoria sem duplicar ou esquecer nenhum jogo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sistema de pontuação por categorias: o problema define quatro resultados possíveis para uma partida — vitória (3 pts), empate com gols (2 pts), empate sem gols (1 pt) e derrota (0 pt). Cada jogo do time se encaixa em exatamente uma dessas categorias.
• Partição de um conjunto: os "sete empates" não formam um grupo homogêneo — o enunciado avisa que, dentro desses sete, três são sem gols. Isso significa que os 4 empates restantes são, por eliminação, empates com gols. É uma aplicação direta do princípio de que o total se reparte em subgrupos complementares.
• Multiplicação como soma repetida: para cada categoria, o total de pontos é (número de jogos daquele tipo) × (valor daquele tipo de resultado). Somando os três produtos, chega-se ao total geral.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "uma vitória vale três pontos, um empate com gols vale dois pontos, um empate sem gols vale um ponto e uma derrota vale zero ponto" → define a tabela de pontuação que será aplicada a cada resultado do time.
• Evidência 2: "cinco vitórias e sete empates, dos quais, três sem gols" → informa exatamente quantos jogos de cada tipo o time teve: 5 vitórias, 3 empates sem gols e, por dedução (7 − 3), 4 empates com gols. Não há menção a derrotas porque 5 + 7 = 12, que é exatamente o total de jogos disputados — logo, o time não perdeu nenhuma partida.
• Síntese: o caminho da resolução é simples e direto: calcular separadamente os pontos das vitórias, dos empates com gols e dos empates sem gols, e depois somar os três resultados parciais.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Confirmar a distribuição dos 12 jogos

O time disputou 12 jogos. O enunciado informa 5 vitórias e 7 empates, o que já soma 5 + 7 = 12 jogos. Isso confirma que não houve nenhuma derrota — todos os 12 jogos estão contabilizados entre vitórias e empates.

Dos 7 empates, o enunciado especifica que 3 foram sem gols. Por subtração, os empates com gols são:

7 − 3 = 4 empates com gols

Resumo da distribuição:

• Vitórias: 5
• Empates com gols: 4
• Empates sem gols: 3
• Derrotas: 0
• Total: 5 + 4 + 3 + 0 = 12 ✓ (confere com o enunciado)

Subpasso 4.2 — Calcular os pontos de cada categoria

Aplicando a tabela de pontuação a cada grupo:

Pontos das vitórias:

5 vitórias × 3 pontos = 15 pontos

Pontos dos empates com gols:

4 empates × 2 pontos = 8 pontos

Pontos dos empates sem gols:

3 empates × 1 ponto = 3 pontos

Subpasso 4.3 — Somar tudo e verificar

Total de pontos = 15 + 8 + 3 = 26 pontos

Verificação por ordem de grandeza: se todos os 12 jogos fossem vitórias, o time teria no máximo 12 × 3 = 36 pontos; como houve empates (que valem menos que vitória), o total real (26) deve ficar abaixo de 36 e acima de um cenário "tudo empate sem gols" (12 × 1 = 12). De fato, 12 < 26 < 36, o que é coerente. Comparando com as alternativas, o valor 26 pontos corresponde exatamente à alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 22

❌ Incorreta: esse valor aparece se o candidato multiplicar todos os 7 empates por 1 ponto (tratando-os todos como "sem gols") e ignorar que 4 deles têm gols: 5×3 + 7×1 = 15 + 7 = 22. O erro é não separar os empates em dois grupos distintos, como o enunciado exige.

B) 25

❌ Incorreta: costuma surgir de um erro de contagem, por exemplo, considerando apenas 3 empates com gols (em vez de 4) e 4 sem gols (em vez de 3) — invertendo os grupos: 15 + 3×2 + 4×1 = 15 + 6 + 4 = 25. O erro conceitual é trocar a quantidade de empates com gols pela quantidade de empates sem gols.

C) 26

✅ Correta: é o resultado exato de somar corretamente as três categorias — 5 vitórias (15 pontos) + 4 empates com gols (8 pontos) + 3 empates sem gols (3 pontos) = 26 pontos, respeitando fielmente a regra de pontuação e a distribuição informada no enunciado.

D) 29

❌ Incorreta: esse valor surge se o candidato multiplicar todos os 7 empates por 2 pontos (tratando-os todos como "empate com gols") e esquecer que 3 deles são sem gols: 5×3 + 7×2 = 15 + 14 = 29. O erro é ignorar a informação de que parte dos empates não teve gols, atribuindo pontuação máxima de empate a todos eles.

E) 36

❌ Incorreta: corresponde ao cenário hipotético em que o time vencesse todas as 12 partidas (12 × 3 = 36), desconsiderando completamente que 7 dos 12 resultados foram empates. É o valor-armadilha de quem só lê "12 jogos" e "vale três pontos" sem processar a distribuição real de vitórias e empates.

🏆 Gabarito: C — a soma correta dos pontos por categoria (5 vitórias × 3 + 4 empates com gols × 2 + 3 empates sem gols × 1) resulta em 26 pontos, o único valor compatível com os dados do enunciado.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: 26 é o único total que respeita simultaneamente as três condições do enunciado — 5 vitórias, 7 empates (com a divisão exata de 3 sem gols e 4 com gols) e a tabela de pontos fornecida. Qualquer outro valor exige ignorar ou distorcer alguma dessas informações.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma trazer, em Matemática, problemas de "sistema de pontuação" (torneios esportivos, campeonatos, jogos) que testam a habilidade de traduzir uma regra em linguagem natural para uma soma de produtos — sem exigir fórmulas, mas exigindo atenção total aos detalhes do texto.
• Generalização: sempre que um problema definir categorias com pesos diferentes (aqui: vitória, empate com gols, empate sem gols, derrota), monte uma tabela mental (ou no rascunho) com "quantidade × valor" para cada categoria antes de somar. Isso evita misturar grupos que parecem iguais no texto (como "sete empates") mas escondem uma subdivisão importante.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o "teto" (todas vitórias: 12×3 = 36) e o "piso" (todos empates sem gols: 12×1 = 12) para eliminar de cara alternativas fora desse intervalo plausível; depois, desconfie de qualquer alternativa que resulte de tratar todos os empates com o mesmo peso (22 ou 29) — esse é o erro mais comum nesse tipo de questão.
• Conexões: o mesmo raciocínio de "partição em categorias com pesos diferentes" aparece em questões de médias ponderadas, sistemas de bonificação em provas com pesos distintos por questão, e problemas de contagem de votos ou ingressos com preços diferenciados.