Questão 153 — ENEM 2016 PPL

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Analítica (coeficiente angular, perpendicularismo e colinearidade de retas)
• ⚡ Nível: Difícil — a questão não tem fórmula pronta para aplicar: é preciso montar, em sequência, duas condições geométricas diferentes (perpendicularismo entre dois trechos da tacada e colinearidade entre o segundo trecho, a bola 9 e a caçapa) a partir da leitura de um gráfico.
• 🎯 Tema/Habilidade: Retas perpendiculares e colineares no plano cartesiano — modelar uma situação real (tacada de bilhar com rebote) usando coordenadas e coeficiente angular.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra a ordenada (y) da posição original da bola branca, sabendo que sua abscissa é 0,5, a partir da trajetória em forma de 'L' que ela percorre até encaçapar a bola 9."
• Palavras-chave decisivas: ângulo de 90°, trajetória retilínea, abscissa 0,5
• Armadilha típica: tentar resolver o problema com uma única reta ligando diretamente a bola branca à bola 9 (ignorando o rebote na lateral) ou perder tempo tentando localizar a bola 8 no sistema de eixos — a posição da bola 8 é apenas contexto narrativo (explica por que o jogador usou a tabela) e não entra em nenhuma conta.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir a tacada em duas retas — uma que liga a bola branca ao ponto de rebote na lateral e outra que liga esse ponto à bola 9 e segue até a caçapa — e resolver as duas condições (perpendicularismo e colinearidade) que as relacionam.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Coeficiente angular (m): mede a inclinação de uma reta que passa por dois pontos (x₁,y₁) e (x₂,y₂): m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
• Retas perpendiculares: duas retas são perpendiculares se, e somente se, o produto dos seus coeficientes angulares é −1 (m₁ · m₂ = −1). É exatamente a condição do "ângulo de 90°" do enunciado.
• Pontos colineares: três pontos estão sobre a mesma reta quando o coeficiente angular é o mesmo para qualquer par deles. Aqui, isso traduz o fato físico de que, ao ser golpeada, a bola 9 segue em linha reta na direção em que foi atingida — logo o trecho que vem do rebote, a bola 9 e a caçapa formam uma única reta.
• Leitura de gráfico: a figura fornece um dado numérico que o texto não dá diretamente — a abscissa x = 2 do ponto em que a bola branca toca a lateral (marcado com um losango e linhas pontilhadas). Sem esse dado lido no gráfico, o sistema fica em aberto.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "ao rebater, ela saia em uma trajetória retilínea, formando um ângulo de 90° com a trajetória da tacada" → os dois trechos do caminho da bola branca (antes e depois de tocar a lateral) são segmentos de retas perpendiculares entre si.
• Evidência 2: na figura, linhas pontilhadas indicam que o ponto de rebote na lateral tem abscissa x = 2, enquanto a bola 9 está em (3 ; 3) e a caçapa de destino em (6 ; 0).
• Evidência 3: "o jogador conseguiu encaçapar a bola 9" → depois do impacto, a bola 9 percorre uma linha reta até a caçapa; como ela é lançada exatamente na direção de onde veio o golpe, o trecho "rebote → bola 9" e o trecho "bola 9 → caçapa" formam a mesma reta (são colineares).
• Síntese: o problema é, na prática, um sistema de retas: a reta B (rebote–bola 9–caçapa) tem coeficiente angular fixo, calculável direto dos pontos dados; a reta A (bola branca–rebote) é perpendicular a ela. Com o x do ponto de rebote (2) descobrimos seu y pela reta B; com o x da bola branca (0,5) e a perpendicularidade, descobrimos o y que falta — a resposta da questão.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Coeficiente angular do trecho "rebote → bola 9 → caçapa"

Chame o ponto de rebote na lateral de R = (2 ; h), a bola 9 de B = (3 ; 3) e a caçapa de C = (6 ; 0). Como B e C estão sobre a mesma reta (a bola 9 segue até a caçapa em linha reta):

m_BC = (0 − 3) ÷ (6 − 3) = −3 ÷ 3 = −1

Como R também está nessa mesma reta (colinearidade), o trecho R–B tem o mesmo coeficiente angular:

m_RB = −1

Subpasso 4.2 — Coordenadas do ponto de rebote R

Usando a equação da reta que passa por B = (3 ; 3) com m = −1:

y − 3 = −1 · (x − 3) → y = −x + 6

Substituindo x = 2 (valor lido na figura):

y = −2 + 6 = 4

Logo, R = (2 ; 4) — a bola branca toca a lateral no ponto de coordenadas (2 ; 4).

Subpasso 4.3 — Perpendicularismo, cálculo final e verificação

O enunciado diz que o trecho "bola branca → R" forma 90° com o trecho "R → bola 9". Pela condição de perpendicularismo, m₁ · m_RB = −1:

m₁ · (−1) = −1 → m₁ = 1

Chamando a bola branca de W = (0,5 ; y₀) e usando R = (2 ; 4) com m = 1:

(4 − y₀) ÷ (2 − 0,5) = 1

4 − y₀ = 1,5

y₀ = 4 − 1,5 = 2,5

Verificação: 2,5 está dentro dos limites da mesa (entre 0 e 4) e é compatível com a posição da bola branca na figura, ligeiramente abaixo da linha y = 3 da bola 9. O valor bate exatamente com a alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1,3.

❌ Incorreta: mesma raiz do erro da alternativa B (tomar a altura da lateral como 3 em vez de 4), com um deslize extra de arredondamento na subtração final — afasta ainda mais o resultado do valor correto.

B) 1,5.

❌ Incorreta: erro de leitura clássico — confundir a ordenada 3 da bola 9 com a altura da lateral da mesa. Se R fosse (2 ; 3) em vez de (2 ; 4), a equação (3 − y₀) ÷ 1,5 = 1 daria y₀ = 1,5. Falta calcular R por colinearidade em vez de supô-lo na mesma altura da bola 9.

C) 2,1.

❌ Incorreta: valor "quase certo", típico de quem monta a proporção correta (Δx = Δy, já que m = 1) mas arredonda mal ao subtrair 1,5 de 4 ou lê com imprecisão as coordenadas do ponto de rebote na figura.

D) 2,2.

❌ Incorreta: mesma origem da alternativa C — resultado de arredondamento indevido, não de um erro conceitual isolado. Penaliza quem estima visualmente a posição da bola branca em vez de resolver algebricamente o sistema de retas.

E) 2,5.

✅ Correta: é o único valor consistente com as duas condições geométricas do problema — o trecho R–bola 9–caçapa tem coeficiente angular −1 (colinearidade), o que fixa R = (2 ; 4); e o trecho bola branca–R, perpendicular ao anterior, tem coeficiente angular 1, o que fixa y₀ = 4 − 1,5 = 2,5.

🏆 Gabarito: E — a ordenada original da bola branca é 2,5, resultado direto de resolver o sistema formado pela reta colinear "rebote–bola 9–caçapa" (m = −1) e pela reta perpendicular a ela que passa pela bola branca (m = 1).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra E satisfaz as duas exigências geométricas da tacada ao mesmo tempo — o ângulo reto no rebote e a trajetória retilínea até a caçapa; qualquer outro valor de y₀ quebra uma das duas condições.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de "vestir" a Geometria Analítica com situações do cotidiano (esportes, jogos, trajetos) para forçar o candidato a montar sozinho o modelo matemático, sem indicar explicitamente "use coeficiente angular" — isso separa quem entende o conceito de quem só decorou fórmula.
• Generalização: sempre que o enunciado falar em ângulo de 90° entre trajetórias no plano cartesiano, use m₁ · m₂ = −1 para achar a inclinação desconhecida a partir da conhecida; e sempre que um objeto "seguir em frente" após um evento (rebote, impacto), desconfie de uma colinearidade escondida.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o coeficiente angular do trecho com pontos totalmente conhecidos (aqui, bola 9–caçapa = −1); isso reduz o problema a uma única equação de reta e já descarta alternativas incompatíveis com essa inclinação.
• Conexões: a mesma lógica aparece em reflexão de luz em espelhos planos e em problemas de menor distância com reflexão, que também usam retas perpendiculares e simetria — vale revisar coeficiente angular e sistemas de retas.